Theorem rspssp 14289

Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspssp.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspssp	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( K ` G ) C_ I )

Proof of Theorem rspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14259	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1021	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
3		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> I e. U )
4		rspssp.u	. . . . . . 7 |- U = (LIdeal ` R )
5		lidlvalg 14266	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
6	4, 5	eqtrid 2250	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
7	6	eleq2d 2275	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( I e. U <-> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
8	7	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( I e. U <-> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
10		simp3 1002	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> G C_ I )
11		eqid 2205	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
12		eqid 2205	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
13	11, 12	lspssp 14198	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) /\ G C_ I ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I )
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I )
15		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
16		rspvalg 14267	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
17	15, 16	eqtrid 2250	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
18	17	fveq1d 5580	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
19	18	sseq1d 3222	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( K ` G ) C_ I <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I ) )
20	19	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( ( K ` G ) C_ I <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I ) )
21	14, 20	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( K ` G ) C_ I )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   ` cfv 5272   Ringcrg 13791   LModclmod 14082   LSubSpclss 14147   LSpanclspn 14181  ringLModcrglmod 14229  LIdealclidl 14262  RSpancrsp 14263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-iress 12873  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-sca 12958  df-vsca 12959  df-ip 12960  df-0g 13123  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-subg 13539  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-ring 13793  df-subrg 14014  df-lmod 14084  df-lssm 14148  df-lsp 14182  df-sra 14230  df-rgmod 14231  df-lidl 14264  df-rsp 14265

This theorem is referenced by: (None)