Theorem rspssp 14803

Description: The ideal span of a set of elements in a ring is contained in any subring which contains those elements. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspssp.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspssp	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( K ` G ) C_ I )

Proof of Theorem rspssp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14773	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2	1	3ad2ant1 1049	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
3		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> I e. U )
4		rspssp.u	. . . . . . 7 |- U = (LIdeal ` R )
5		lidlvalg 14780	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
6	4, 5	eqtrid 2283	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
7	6	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( I e. U <-> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
8	7	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( I e. U <-> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
9	3, 8	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
10		simp3 1030	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> G C_ I )
11		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
13	11, 12	lspssp 14712	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ I e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) /\ G C_ I ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I )
14	2, 9, 10, 13	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I )
15		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
16		rspvalg 14781	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
17	15, 16	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
18	17	fveq1d 5692	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
19	18	sseq1d 3277	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( K ` G ) C_ I <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I ) )
20	19	3ad2ant1 1049	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( ( K ` G ) C_ I <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) C_ I ) )
21	14, 20	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ G C_ I ) -> ( K ` G ) C_ I )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5372   Ringcrg 14274   LModclmod 14596   LSubSpclss 14661   LSpanclspn 14695  ringLModcrglmod 14743  LIdealclidl 14776  RSpancrsp 14777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-iress 13338  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-subg 13950  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276  df-subrg 14500  df-lmod 14598  df-lssm 14662  df-lsp 14696  df-sra 14744  df-rgmod 14745  df-lidl 14778  df-rsp 14779

This theorem is referenced by: (None)