Theorem lt2subd 8443

Description: Subtracting both sides of two 'less than' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
lt2addd.4	|- ( ph -> D e. RR )
lt2addd.5	|- ( ph -> A < C )
lt2addd.6	|- ( ph -> B < D )

Assertion

Ref	Expression
lt2subd	|- ( ph -> ( A - D ) < ( C - B ) )

Proof of Theorem lt2subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addd.5	. 2 |- ( ph -> A < C )
2		lt2addd.6	. 2 |- ( ph -> B < D )
3		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4		lt2addd.4	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
5		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
6		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
7		lt2sub 8335	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ D e. RR ) /\ ( C e. RR /\ B e. RR ) ) -> ( ( A < C /\ B < D ) -> ( A - D ) < ( C - B ) ) )
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1221	. 2 |- ( ph -> ( ( A < C /\ B < D ) -> ( A - D ) < ( C - B ) ) )
9	1, 2, 8	mp2and 430	1 |- ( ph -> ( A - D ) < ( C - B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   RRcr 7731   < clt 7912   - cmin 8046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-sub 8048  df-neg 8049

This theorem is referenced by: (None)