Theorem lt2subd 8437

Description: Subtracting both sides of two 'less than' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltnegd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltadd1d.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lt2addd.4	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lt2addd.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
lt2addd.6	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lt2subd	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) < (𝐶 − 𝐵))

Proof of Theorem lt2subd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt2addd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
2		lt2addd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐷)
3		leidd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lt2addd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
5		ltadd1d.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltnegd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lt2sub 8329	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) < (𝐶 − 𝐵)))
8	3, 4, 5, 6, 7	syl22anc 1221	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐵 < 𝐷) → (𝐴 − 𝐷) < (𝐶 − 𝐵)))
9	1, 2, 8	mp2and 430	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐷) < (𝐶 − 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 2128   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℝcr 7725   < clt 7906   − cmin 8040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-ltxr 7911  df-sub 8042  df-neg 8043

This theorem is referenced by: (None)