ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  possumd Unicode version

Theorem possumd 8338
Description: Condition for a positive sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
possumd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
possumd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
possumd  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( A  +  B )  <->  -u B  <  A ) )

Proof of Theorem possumd
StepHypRef Expression
1 possumd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
21renegcld 8149 . . 3  |-  ( ph  -> 
-u B  e.  RR )
3 possumd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
42, 3posdifd 8301 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u B  < 
A  <->  0  <  ( A  -  -u B ) ) )
53recnd 7801 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
61recnd 7801 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
75, 6subnegd 8087 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  -  -u B
)  =  ( A  +  B ) )
87breq2d 3941 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( A  -  -u B )  <->  0  <  ( A  +  B ) ) )
94, 8bitr2d 188 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( A  +  B )  <->  -u B  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   RRcr 7626   0cc0 7627    + caddc 7630    < clt 7807    - cmin 7940   -ucneg 7941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-sub 7942  df-neg 7943
This theorem is referenced by:  subfzo0  10026  addmodlteq  10178
  Copyright terms: Public domain W3C validator