Theorem possumd 8739

Description: Condition for a positive sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
possumd.1	|- ( ph -> A e. RR )
possumd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
possumd	|- ( ph -> ( 0 < ( A + B ) <-> -u B < A ) )

Proof of Theorem possumd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		possumd.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	renegcld 8549	. . 3 |- ( ph -> -u B e. RR )
3		possumd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4	2, 3	posdifd 8702	. 2 |- ( ph -> ( -u B < A <-> 0 < ( A - -u B ) ) )
5	3	recnd 8198	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
6	1	recnd 8198	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
7	5, 6	subnegd 8487	. . 3 |- ( ph -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )
8	7	breq2d 4098	. 2 |- ( ph -> ( 0 < ( A - -u B ) <-> 0 < ( A + B ) ) )
9	4, 8	bitr2d 189	1 |- ( ph -> ( 0 < ( A + B ) <-> -u B < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   RRcr 8021   0cc0 8022   + caddc 8025   < clt 8204   - cmin 8340   -ucneg 8341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-sub 8342  df-neg 8343

This theorem is referenced by:  subfzo0  10478  addmodlteq  10650