Theorem possumd 8641

Description: Condition for a positive sum. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
possumd.1	|- ( ph -> A e. RR )
possumd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
possumd	|- ( ph -> ( 0 < ( A + B ) <-> -u B < A ) )

Proof of Theorem possumd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		possumd.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. RR )
2	1	renegcld 8451	. . 3 |- ( ph -> -u B e. RR )
3		possumd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
4	2, 3	posdifd 8604	. 2 |- ( ph -> ( -u B < A <-> 0 < ( A - -u B ) ) )
5	3	recnd 8100	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
6	1	recnd 8100	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
7	5, 6	subnegd 8389	. . 3 |- ( ph -> ( A - -u B ) = ( A + B ) )
8	7	breq2d 4055	. 2 |- ( ph -> ( 0 < ( A - -u B ) <-> 0 < ( A + B ) ) )
9	4, 8	bitr2d 189	1 |- ( ph -> ( 0 < ( A + B ) <-> -u B < A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   RRcr 7923   0cc0 7924   + caddc 7927   < clt 8106   - cmin 8242   -ucneg 8243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-sub 8244  df-neg 8245

This theorem is referenced by:  subfzo0  10369  addmodlteq  10541