Theorem ltaddneg 8355

Description: Adding a negative number to another number decreases it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐵 + 𝐴) < 𝐵))

Proof of Theorem ltaddneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7932	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltadd2 8350	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 0)))
3	1, 2	mp3an2 1325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 0)))
4		recn 7919	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	addid1d 8080	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 + 0) = 𝐵)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 + 0) = 𝐵)
7	6	breq2d 4010	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 0) ↔ (𝐵 + 𝐴) < 𝐵))
8	3, 7	bitrd 188	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ↔ (𝐵 + 𝐴) < 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  0cc0 7786   + caddc 7789   < clt 7966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-i2m1 7891  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-iota 5170  df-fv 5216  df-ov 5868  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-ltxr 7971

This theorem is referenced by:  ltaddnegr  8356