Theorem ltsopi 7694

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	⊢ <N Or N

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4697	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ 𝑥
2		ltpiord 7693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
3	2	anidms 401	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
4	1, 3	mtbiri 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ N → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ N) → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
6		pion 7684	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ On)
7		ontr1 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ On → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
9	8	3ad2ant3 1051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
10		ltpiord 7693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
11	10	3adant3 1048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
12		ltpiord 7693	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
13	12	3adant1 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
14	11, 13	anbi12d 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)))
15		ltpiord 7693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
16	15	3adant2 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
17	9, 14, 16	3imtr4d 203	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
19	5, 18	ispod 4451	. . 3 ⊢ (⊤ → <N Po N)
20		pinn 7683	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → 𝑥 ∈ ω)
21		pinn 7683	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
22		nntri3or 6770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
24		biidd 172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
25		ltpiord 7693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
27	10, 24, 26	3orbi123d 1352	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
29	28	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
30	19, 29	issod 4466	. 2 ⊢ (⊤ → <N Or N)
31	30	mptru 1411	1 ⊢ <N Or N

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1008   ∧ w3a 1009  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131   Or wor 4442  Oncon0 4510  ωcom 4739  Ncnpi 7646   <_N clti 7649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-ni 7678  df-lti 7681

This theorem is used by:  ltsonq  7772