Theorem ltsopi 7261

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	⊢ <N Or N

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4525	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ 𝑥
2		ltpiord 7260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
3	2	anidms 395	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
4	1, 3	mtbiri 665	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ N → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
5	4	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ N) → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
6		pion 7251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ On)
7		ontr1 4367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ On → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
9	8	3ad2ant3 1010	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
10		ltpiord 7260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
11	10	3adant3 1007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
12		ltpiord 7260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
13	12	3adant1 1005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
14	11, 13	anbi12d 465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)))
15		ltpiord 7260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
16	15	3adant2 1006	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
17	9, 14, 16	3imtr4d 202	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
18	17	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
19	5, 18	ispod 4282	. . 3 ⊢ (⊤ → <N Po N)
20		pinn 7250	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → 𝑥 ∈ ω)
21		pinn 7250	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
22		nntri3or 6461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
23	20, 21, 22	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
24		biidd 171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
25		ltpiord 7260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
26	25	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
27	10, 24, 26	3orbi123d 1301	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
28	23, 27	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
29	28	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
30	19, 29	issod 4297	. 2 ⊢ (⊤ → <N Or N)
31	30	mptru 1352	1 ⊢ <N Or N

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 967   ∧ w3a 968  ⊤wtru 1344   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982   Or wor 4273  Oncon0 4341  ωcom 4567  Ncnpi 7213   <_N clti 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-ni 7245  df-lti 7248

This theorem is referenced by:  ltsonq  7339