Theorem ltsopi 7583

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	⊢ <N Or N

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4652	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ 𝑥
2		ltpiord 7582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
3	2	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
4	1, 3	mtbiri 682	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ N → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ N) → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
6		pion 7573	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ On)
7		ontr1 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ On → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
9	8	3ad2ant3 1047	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
10		ltpiord 7582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
11	10	3adant3 1044	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
12		ltpiord 7582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
13	12	3adant1 1042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)))
15		ltpiord 7582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
16	15	3adant2 1043	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
17	9, 14, 16	3imtr4d 203	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
19	5, 18	ispod 4407	. . 3 ⊢ (⊤ → <N Po N)
20		pinn 7572	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → 𝑥 ∈ ω)
21		pinn 7572	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
22		nntri3or 6704	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
24		biidd 172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
25		ltpiord 7582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
27	10, 24, 26	3orbi123d 1348	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
29	28	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
30	19, 29	issod 4422	. 2 ⊢ (⊤ → <N Or N)
31	30	mptru 1407	1 ⊢ <N Or N

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4093   Or wor 4398  Oncon0 4466  ωcom 4694  Ncnpi 7535   <_N clti 7538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-ni 7567  df-lti 7570

This theorem is referenced by:  ltsonq  7661