Theorem ltsopi 7282

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	⊢ <N Or N

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4532	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ 𝑥
2		ltpiord 7281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
3	2	anidms 395	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
4	1, 3	mtbiri 670	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ N → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
5	4	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ N) → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
6		pion 7272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ On)
7		ontr1 4374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ On → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
9	8	3ad2ant3 1015	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
10		ltpiord 7281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
11	10	3adant3 1012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
12		ltpiord 7281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
13	12	3adant1 1010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
14	11, 13	anbi12d 470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)))
15		ltpiord 7281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
16	15	3adant2 1011	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
17	9, 14, 16	3imtr4d 202	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
18	17	adantl 275	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
19	5, 18	ispod 4289	. . 3 ⊢ (⊤ → <N Po N)
20		pinn 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → 𝑥 ∈ ω)
21		pinn 7271	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
22		nntri3or 6472	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
23	20, 21, 22	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
24		biidd 171	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
25		ltpiord 7281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
26	25	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
27	10, 24, 26	3orbi123d 1306	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
28	23, 27	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
29	28	adantl 275	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
30	19, 29	issod 4304	. 2 ⊢ (⊤ → <N Or N)
31	30	mptru 1357	1 ⊢ <N Or N

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 972   ∧ w3a 973  ⊤wtru 1349   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989   Or wor 4280  Oncon0 4348  ωcom 4574  Ncnpi 7234   <_N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-ni 7266  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  ltsonq  7360