Theorem ltsopi 7380

Description: Positive integer 'less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ltsopi	⊢ <N Or N

Proof of Theorem ltsopi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elirrv 4580	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝑥 ∈ 𝑥
2		ltpiord 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
3	2	anidms 397	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → (𝑥 <N 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑥))
4	1, 3	mtbiri 676	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ N → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
5	4	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ N) → ¬ 𝑥 <N 𝑥)
6		pion 7370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ N → 𝑧 ∈ On)
7		ontr1 4420	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ On → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
8	6, 7	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ N → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
9	8	3ad2ant3 1022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧) → 𝑥 ∈ 𝑧))
10		ltpiord 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
11	10	3adant3 1019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ↔ 𝑥 ∈ 𝑦))
12		ltpiord 7379	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
13	12	3adant1 1017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑧 ↔ 𝑦 ∈ 𝑧))
14	11, 13	anbi12d 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝑧)))
15		ltpiord 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
16	15	3adant2 1018	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑧 ↔ 𝑥 ∈ 𝑧))
17	9, 14, 16	3imtr4d 203	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N)) → ((𝑥 <N 𝑦 ∧ 𝑦 <N 𝑧) → 𝑥 <N 𝑧))
19	5, 18	ispod 4335	. . 3 ⊢ (⊤ → <N Po N)
20		pinn 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ N → 𝑥 ∈ ω)
21		pinn 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
22		nntri3or 6546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
23	20, 21, 22	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥))
24		biidd 172	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦))
25		ltpiord 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
26	25	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 <N 𝑥 ↔ 𝑦 ∈ 𝑥))
27	10, 24, 26	3orbi123d 1322	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 ∈ 𝑥)))
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
29	28	adantl 277	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N)) → (𝑥 <N 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 <N 𝑥))
30	19, 29	issod 4350	. 2 ⊢ (⊤ → <N Or N)
31	30	mptru 1373	1 ⊢ <N Or N

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   ∧ w3a 980  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029   Or wor 4326  Oncon0 4394  ωcom 4622  Ncnpi 7332   <_N clti 7335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-ni 7364  df-lti 7367

This theorem is referenced by:  ltsonq  7458