Theorem mapsnconst 6656

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	2	snex 4163	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
4	1, 3	elmap 6639	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝐵)
5	2	fsn2 5658	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}))
6	5	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
7	4, 6	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
8		mapsncnv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
9	8	oveq2i 5852	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) = (𝐵 ↑𝑚 {𝑋})
10	7, 9	eleq2s 2260	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
11	8	xpeq1i 4623	. . 3 ⊢ (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}) = ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)})
12		fvexg 5504	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
13	2, 12	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
14		xpsng 5659	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ V) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
15	2, 13, 14	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
16	11, 15	eqtr2id 2211	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩} = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
17	10, 16	eqtrd 2198	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2725  {csn 3575  ⟨cop 3578   × cxp 4601  ⟶wf 5183  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841   ↑_𝑚 cmap 6610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-v 2727  df-sbc 2951  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-map 6612

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6657