Theorem mapsnconst 6672

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	2	snex 4171	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
4	1, 3	elmap 6655	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝐵)
5	2	fsn2 5670	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}))
6	5	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
7	4, 6	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
8		mapsncnv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
9	8	oveq2i 5864	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) = (𝐵 ↑𝑚 {𝑋})
10	7, 9	eleq2s 2265	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
11	8	xpeq1i 4631	. . 3 ⊢ (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}) = ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)})
12		fvexg 5515	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
13	2, 12	mpan2 423	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
14		xpsng 5671	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ V) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
15	2, 13, 14	sylancr 412	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
16	11, 15	eqtr2id 2216	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩} = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
17	10, 16	eqtrd 2203	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730  {csn 3583  ⟨cop 3586   × cxp 4609  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853   ↑_𝑚 cmap 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6673