Theorem mapsnconst 6762

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	2	snex 4219	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
4	1, 3	elmap 6745	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝐵)
5	2	fsn2 5739	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}))
6	5	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
7	4, 6	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
8		mapsncnv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
9	8	oveq2i 5936	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) = (𝐵 ↑𝑚 {𝑋})
10	7, 9	eleq2s 2291	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
11	8	xpeq1i 4684	. . 3 ⊢ (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}) = ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)})
12		fvexg 5580	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
13	2, 12	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
14		xpsng 5740	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ V) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
16	11, 15	eqtr2id 2242	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩} = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
17	10, 16	eqtrd 2229	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3623  ⟨cop 3626   × cxp 4662  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-map 6718

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6763