Theorem mapsnconst 6750

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	2	snex 4215	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
4	1, 3	elmap 6733	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝐵)
5	2	fsn2 5733	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}))
6	5	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
7	4, 6	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
8		mapsncnv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
9	8	oveq2i 5930	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) = (𝐵 ↑𝑚 {𝑋})
10	7, 9	eleq2s 2288	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
11	8	xpeq1i 4680	. . 3 ⊢ (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}) = ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)})
12		fvexg 5574	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
13	2, 12	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
14		xpsng 5734	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ V) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
15	2, 13, 14	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
16	11, 15	eqtr2id 2239	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩} = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
17	10, 16	eqtrd 2226	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  {csn 3619  ⟨cop 3622   × cxp 4658  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919   ↑_𝑚 cmap 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6751