Theorem mapsnconst 6588

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s	⊢ 𝑆 = {𝑋}
mapsncnv.b	⊢ 𝐵 ∈ V
mapsncnv.x	⊢ 𝑋 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst	⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		mapsncnv.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	2	snex 4109	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
4	1, 3	elmap 6571	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) ↔ 𝐹:{𝑋}⟶𝐵)
5	2	fsn2 5594	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩}))
6	5	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝑋}⟶𝐵 → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
7	4, 6	sylbi 120	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 {𝑋}) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
8		mapsncnv.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑋}
9	8	oveq2i 5785	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) = (𝐵 ↑𝑚 {𝑋})
10	7, 9	eleq2s 2234	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
11	8	xpeq1i 4559	. . 3 ⊢ (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}) = ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)})
12		fvexg 5440	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
13	2, 12	mpan2 421	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ V)
14		xpsng 5595	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ V) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
15	2, 13, 14	sylancr 410	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → ({𝑋} × {(𝐹‘𝑋)}) = {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩})
16	11, 15	syl5req 2185	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → {⟨𝑋, (𝐹‘𝑋)⟩} = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))
17	10, 16	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐵 ↑𝑚 𝑆) → 𝐹 = (𝑆 × {(𝐹‘𝑋)}))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527  ⟨cop 3530   × cxp 4537  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ↑_𝑚 cmap 6542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-map 6544

This theorem is referenced by:  mapsncnv  6589