Theorem fvexg 5654

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2812	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5650	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 4995	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4534	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4226	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   C_ wss 3198   U.cuni 3891   ran crn 4724   ` cfv 5324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fv 5332

This theorem is referenced by:  fvex  5655  ovexg  6047  rdgivallem  6542  frecabex  6559  mapsnconst  6858  cc2lem  7475  addvalex  8054  uzennn  10688  seq1g  10715  seqp1g  10718  seqclg  10724  seqm1g  10726  seqfeq4g  10783  lswwrd  11150  ccatlen  11162  ccatval2  11165  ccatvalfn  11168  ccatalpha  11180  eqs1  11195  swrdlen  11223  swrdfv  11224  swrdwrdsymbg  11235  swrdswrd  11276  absval  11552  climmpt  11851  strnfvnd  13092  prdsex  13342  prdsval  13346  prdsbaslemss  13347  prdsbas  13349  prdsplusgfval  13357  prdsmulrfval  13359  pwsplusgval  13368  pwsmulrval  13369  imasex  13378  imasival  13379  imasbas  13380  imasplusg  13381  imasmulr  13382  imasaddfnlemg  13387  imasaddvallemg  13388  gsumfzval  13464  gsumval2  13470  gsumsplit1r  13471  gsumprval  13472  gsumfzz  13568  gsumwsubmcl  13569  gsumfzcl  13572  grpsubval  13619  mulgval  13699  mulgfng  13701  mulgnngsum  13704  znval  14640  znle  14641  znbaslemnn  14643  znbas  14648  znzrhval  14651  znzrhfo  14652  znleval  14657  iscnp4  14932  cnpnei  14933  wlkvtxiedg  16142  wlkvtxiedgg  16143  wlk1walkdom  16156  wlklenvclwlk  16170