Theorem fvexg 5714

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5710	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 5047	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4585	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4272	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   U.cuni 3935   ran crn 4775   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvex  5715  ovexg  6119  suppval1  6479  suppimacnvfn  6486  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  rdgivallem  6652  frecabex  6669  mapsnconst  6976  mapsnend  7099  cc2lem  7632  addvalex  8211  uzennn  10886  seq1g  10913  seqp1g  10916  seqclg  10922  seqm1g  10924  seqfeq4g  10981  lswwrd  11365  ccatlen  11377  ccatval2  11380  ccatvalfn  11383  ccatalpha  11395  eqs1  11410  swrdlen  11438  swrdfv  11439  swrdwrdsymbg  11450  swrdswrd  11491  absval  11781  climmpt  12082  strnfvnd  13421  imasex  13675  imasival  13676  imasbas  13677  imasplusg  13678  imasmulr  13679  imasaddfnlemg  13684  imasaddvallemg  13685  gzsumfzval  13760  gzsumval2  13763  gzsumsplit1r  13764  gzsumwsubmcl  13850  gzsumcl  13853  grpsubval  13900  mulgval  13974  mulgfng  13976  mulgnngzsum  13979  prdsex  14221  prdsval  14222  prdsbaslemss  14223  prdsbas  14225  prdsplusgfval  14233  prdsmulrfval  14235  pwsplusgval  14257  pwsmulrval  14258  znval  15020  znle  15021  znbaslemnn  15023  znbas  15028  znzrhval  15031  znzrhfo  15032  znleval  15037  iscnp4  15368  cnpnei  15369  uhgrspansubgrlem  16615  wlkvtxiedg  16684  wlkvtxiedgg  16685  wlk1walkdom  16698  wlklenvclwlk  16712  trlsegvdeglem3  16801  trlsegvdeglem5  16803  eupth2lem3fi  16815  depindlem1  16845