Theorem fvexg 5645

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5641	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 4988	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4529	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4222	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   U.cuni 3887   ran crn 4719   ` cfv 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fv 5325

This theorem is referenced by:  fvex  5646  ovexg  6034  rdgivallem  6525  frecabex  6542  mapsnconst  6839  cc2lem  7448  addvalex  8027  uzennn  10653  seq1g  10680  seqp1g  10683  seqclg  10689  seqm1g  10691  seqfeq4g  10748  lswwrd  11113  ccatlen  11125  ccatval2  11128  ccatvalfn  11131  eqs1  11156  swrdlen  11179  swrdfv  11180  swrdwrdsymbg  11191  swrdswrd  11232  absval  11507  climmpt  11806  strnfvnd  13047  prdsex  13297  prdsval  13301  prdsbaslemss  13302  prdsbas  13304  prdsplusgfval  13312  prdsmulrfval  13314  pwsplusgval  13323  pwsmulrval  13324  imasex  13333  imasival  13334  imasbas  13335  imasplusg  13336  imasmulr  13337  imasaddfnlemg  13342  imasaddvallemg  13343  gsumfzval  13419  gsumval2  13425  gsumsplit1r  13426  gsumprval  13427  gsumfzz  13523  gsumwsubmcl  13524  gsumfzcl  13527  grpsubval  13574  mulgval  13654  mulgfng  13656  mulgnngsum  13659  znval  14594  znle  14595  znbaslemnn  14597  znbas  14602  znzrhval  14605  znzrhfo  14606  znleval  14611  iscnp4  14886  cnpnei  14887  wlkvtxiedgg  16042