Theorem fvexg 5658

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5654	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 4997	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4536	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4228	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   U.cuni 3893   ran crn 4726   ` cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fvex  5659  ovexg  6052  rdgivallem  6547  frecabex  6564  mapsnconst  6863  cc2lem  7485  addvalex  8064  uzennn  10699  seq1g  10726  seqp1g  10729  seqclg  10735  seqm1g  10737  seqfeq4g  10794  lswwrd  11164  ccatlen  11176  ccatval2  11179  ccatvalfn  11182  ccatalpha  11194  eqs1  11209  swrdlen  11237  swrdfv  11238  swrdwrdsymbg  11249  swrdswrd  11290  absval  11579  climmpt  11878  strnfvnd  13120  prdsex  13370  prdsval  13374  prdsbaslemss  13375  prdsbas  13377  prdsplusgfval  13385  prdsmulrfval  13387  pwsplusgval  13396  pwsmulrval  13397  imasex  13406  imasival  13407  imasbas  13408  imasplusg  13409  imasmulr  13410  imasaddfnlemg  13415  imasaddvallemg  13416  gsumfzval  13492  gsumval2  13498  gsumsplit1r  13499  gsumprval  13500  gsumfzz  13596  gsumwsubmcl  13597  gsumfzcl  13600  grpsubval  13647  mulgval  13727  mulgfng  13729  mulgnngsum  13732  znval  14669  znle  14670  znbaslemnn  14672  znbas  14677  znzrhval  14680  znzrhfo  14681  znleval  14686  iscnp4  14961  cnpnei  14962  uhgrspansubgrlem  16146  wlkvtxiedg  16215  wlkvtxiedgg  16216  wlk1walkdom  16229  wlklenvclwlk  16243  trlsegvdeglem3  16332  trlsegvdeglem5  16334  eupth2lem3fi  16346  depindlem1  16376