Theorem fvexg 5694

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5690	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 5027	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4565	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4254	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   C_ wss 3214   U.cuni 3919   ran crn 4755   ` cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fvex  5695  ovexg  6092  suppval1  6452  suppimacnvfn  6459  suppssrst  6474  suppssrgst  6475  rdgivallem  6625  frecabex  6642  mapsnconst  6942  mapsnend  7065  cc2lem  7596  addvalex  8175  uzennn  10822  seq1g  10849  seqp1g  10852  seqclg  10858  seqm1g  10860  seqfeq4g  10917  lswwrd  11296  ccatlen  11308  ccatval2  11311  ccatvalfn  11314  ccatalpha  11326  eqs1  11341  swrdlen  11369  swrdfv  11370  swrdwrdsymbg  11381  swrdswrd  11422  absval  11711  climmpt  12010  strnfvnd  13316  imasex  13569  imasival  13570  imasbas  13571  imasplusg  13572  imasmulr  13573  imasaddfnlemg  13578  imasaddvallemg  13579  gsumfzval  13654  gsumval2  13660  gsumsplit1r  13661  gsumprval  13662  gsumfzz  13750  gsumwsubmcl  13751  gsumfzcl  13754  grpsubval  13801  mulgval  13875  mulgfng  13877  mulgnngsum  13880  prdsex  14114  prdsval  14115  prdsbaslemss  14116  prdsbas  14118  prdsplusgfval  14126  prdsmulrfval  14128  pwsplusgval  14150  pwsmulrval  14151  znval  14910  znle  14911  znbaslemnn  14913  znbas  14918  znzrhval  14921  znzrhfo  14922  znleval  14927  iscnp4  15209  cnpnei  15210  uhgrspansubgrlem  16397  wlkvtxiedg  16466  wlkvtxiedgg  16467  wlk1walkdom  16480  wlklenvclwlk  16494  trlsegvdeglem3  16583  trlsegvdeglem5  16585  eupth2lem3fi  16597  depindlem1  16627