Theorem fvexg 5714

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5710	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 5047	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4585	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4272	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   U.cuni 3935   ran crn 4775   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvex  5715  ovexg  6119  suppval1  6479  suppimacnvfn  6486  suppssrst  6501  suppssrgst  6502  rdgivallem  6652  frecabex  6669  mapsnconst  6976  mapsnend  7099  cc2lem  7633  addvalex  8212  uzennn  10888  seq1g  10915  seqp1g  10918  seqclg  10924  seqm1g  10926  seqfeq4g  10983  lswwrd  11367  ccatlen  11379  ccatval2  11382  ccatvalfn  11385  ccatalpha  11397  eqs1  11412  swrdlen  11440  swrdfv  11441  swrdwrdsymbg  11452  swrdswrd  11493  absval  11783  climmpt  12085  strnfvnd  13424  imasex  13679  imasival  13680  imasbas  13681  imasplusg  13682  imasmulr  13683  imasaddfnlemg  13688  imasaddvallemg  13689  gzsumfzval  13764  gzsumval2  13767  gzsumsplit1r  13768  gzsumwsubmcl  13854  gzsumcl  13857  grpsubval  13904  mulgval  13978  mulgfng  13980  mulgnngzsum  13983  cntrval  14145  prdsex  14256  prdsval  14257  prdsbaslemss  14258  prdsbas  14260  prdsplusgfval  14268  prdsmulrfval  14270  pwsplusgval  14292  pwsmulrval  14293  znval  15055  znle  15056  znbaslemnn  15058  znbas  15063  znzrhval  15066  znzrhfo  15067  znleval  15072  iscnp4  15410  cnpnei  15411  uhgrspansubgrlem  16683  wlkvtxiedg  16752  wlkvtxiedgg  16753  wlk1walkdom  16766  wlklenvclwlk  16780  trlsegvdeglem3  16869  trlsegvdeglem5  16871  eupth2lem3fi  16883  depindlem1  16913