Theorem fvexg 5648

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5644	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 4989	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4530	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4223	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   U.cuni 3888   ran crn 4720   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-iota 5278  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvex  5649  ovexg  6041  rdgivallem  6533  frecabex  6550  mapsnconst  6849  cc2lem  7463  addvalex  8042  uzennn  10670  seq1g  10697  seqp1g  10700  seqclg  10706  seqm1g  10708  seqfeq4g  10765  lswwrd  11131  ccatlen  11143  ccatval2  11146  ccatvalfn  11149  ccatalpha  11161  eqs1  11176  swrdlen  11199  swrdfv  11200  swrdwrdsymbg  11211  swrdswrd  11252  absval  11527  climmpt  11826  strnfvnd  13067  prdsex  13317  prdsval  13321  prdsbaslemss  13322  prdsbas  13324  prdsplusgfval  13332  prdsmulrfval  13334  pwsplusgval  13343  pwsmulrval  13344  imasex  13353  imasival  13354  imasbas  13355  imasplusg  13356  imasmulr  13357  imasaddfnlemg  13362  imasaddvallemg  13363  gsumfzval  13439  gsumval2  13445  gsumsplit1r  13446  gsumprval  13447  gsumfzz  13543  gsumwsubmcl  13544  gsumfzcl  13547  grpsubval  13594  mulgval  13674  mulgfng  13676  mulgnngsum  13679  znval  14615  znle  14616  znbaslemnn  14618  znbas  14623  znzrhval  14626  znzrhfo  14627  znleval  14632  iscnp4  14907  cnpnei  14908  wlkvtxiedg  16086  wlkvtxiedgg  16087  wlk1walkdom  16100  wlklenvclwlk  16114