Theorem fvexg 5667

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2815	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5663	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 5003	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4542	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4233	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   C_ wss 3201   U.cuni 3898   ran crn 4732   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-iota 5293  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fvex  5668  ovexg  6062  suppval1  6417  suppimacnvfn  6424  suppssrst  6439  suppssrgst  6440  rdgivallem  6590  frecabex  6607  mapsnconst  6906  cc2lem  7528  addvalex  8107  uzennn  10744  seq1g  10771  seqp1g  10774  seqclg  10780  seqm1g  10782  seqfeq4g  10839  lswwrd  11209  ccatlen  11221  ccatval2  11224  ccatvalfn  11227  ccatalpha  11239  eqs1  11254  swrdlen  11282  swrdfv  11283  swrdwrdsymbg  11294  swrdswrd  11335  absval  11624  climmpt  11923  strnfvnd  13165  prdsex  13415  prdsval  13419  prdsbaslemss  13420  prdsbas  13422  prdsplusgfval  13430  prdsmulrfval  13432  pwsplusgval  13441  pwsmulrval  13442  imasex  13451  imasival  13452  imasbas  13453  imasplusg  13454  imasmulr  13455  imasaddfnlemg  13460  imasaddvallemg  13461  gsumfzval  13537  gsumval2  13543  gsumsplit1r  13544  gsumprval  13545  gsumfzz  13641  gsumwsubmcl  13642  gsumfzcl  13645  grpsubval  13692  mulgval  13772  mulgfng  13774  mulgnngsum  13777  znval  14715  znle  14716  znbaslemnn  14718  znbas  14723  znzrhval  14726  znzrhfo  14727  znleval  14732  iscnp4  15012  cnpnei  15013  uhgrspansubgrlem  16200  wlkvtxiedg  16269  wlkvtxiedgg  16270  wlk1walkdom  16283  wlklenvclwlk  16297  trlsegvdeglem3  16386  trlsegvdeglem5  16388  eupth2lem3fi  16400  depindlem1  16430