Theorem fvexg 5658

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5654	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 4997	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4536	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4228	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   U.cuni 3893   ran crn 4726   ` cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  fvex  5659  ovexg  6051  rdgivallem  6546  frecabex  6563  mapsnconst  6862  cc2lem  7484  addvalex  8063  uzennn  10697  seq1g  10724  seqp1g  10727  seqclg  10733  seqm1g  10735  seqfeq4g  10792  lswwrd  11159  ccatlen  11171  ccatval2  11174  ccatvalfn  11177  ccatalpha  11189  eqs1  11204  swrdlen  11232  swrdfv  11233  swrdwrdsymbg  11244  swrdswrd  11285  absval  11561  climmpt  11860  strnfvnd  13101  prdsex  13351  prdsval  13355  prdsbaslemss  13356  prdsbas  13358  prdsplusgfval  13366  prdsmulrfval  13368  pwsplusgval  13377  pwsmulrval  13378  imasex  13387  imasival  13388  imasbas  13389  imasplusg  13390  imasmulr  13391  imasaddfnlemg  13396  imasaddvallemg  13397  gsumfzval  13473  gsumval2  13479  gsumsplit1r  13480  gsumprval  13481  gsumfzz  13577  gsumwsubmcl  13578  gsumfzcl  13581  grpsubval  13628  mulgval  13708  mulgfng  13710  mulgnngsum  13713  znval  14649  znle  14650  znbaslemnn  14652  znbas  14657  znzrhval  14660  znzrhfo  14661  znleval  14666  iscnp4  14941  cnpnei  14942  uhgrspansubgrlem  16126  wlkvtxiedg  16195  wlkvtxiedgg  16196  wlk1walkdom  16209  wlklenvclwlk  16223  trlsegvdeglem3  16312  trlsegvdeglem5  16314