Theorem fvexg 5717

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5713	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 5049	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4587	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4274	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   U.cuni 3935   ran crn 4777   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fv 5388

This theorem is used by:  fvex  5718  ovexg  6122  suppval1  6483  suppimacnvfn  6490  suppssrst  6505  suppssrgst  6506  suppinisegdc  6513  rdgivallem  6657  frecabex  6674  mapsnconst  6982  mapsnend  7105  cc2lem  7638  addvalex  8217  uzennn  10893  seq1g  10920  seqp1g  10923  seqclg  10929  seqm1g  10931  seqfeq4g  10988  lswwrd  11372  ccatlen  11384  ccatval2  11387  ccatvalfn  11390  ccatalpha  11402  eqs1  11417  swrdlen  11445  swrdfv  11446  swrdwrdsymbg  11457  swrdswrd  11498  absval  11788  climmpt  12090  strnfvnd  13429  imasex  13684  imasival  13685  imasbas  13686  imasplusg  13687  imasmulr  13688  imasaddfnlemg  13693  imasaddvallemg  13694  gzsumfzval  13769  gzsumval2  13772  gzsumsplit1r  13773  gzsumwsubmcl  13859  gzsumcl  13862  grpsubval  13909  mulgval  13983  mulgfng  13985  mulgnngzsum  13988  cntrval  14150  prdsex  14278  prdsval  14279  prdsbaslemss  14280  prdsbas  14282  prdsplusgfval  14290  prdsmulrfval  14292  pwsplusgval  14314  pwsmulrval  14315  znval  15079  znle  15080  znbaslemnn  15082  znbas  15087  znzrhval  15090  znzrhfo  15091  znleval  15096  iscnp4  15461  cnpnei  15462  uhgrspansubgrlem  16739  wlkvtxiedg  16808  wlkvtxiedgg  16809  wlk1walkdom  16822  wlklenvclwlk  16836  trlsegvdeglem3  16925  trlsegvdeglem5  16927  eupth2lem3fi  16939  depindlem1  16969