Theorem fvexg 5709

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5705	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 5042	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4580	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4267	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   U.cuni 3930   ran crn 4770   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-iota 5332  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fvex  5710  ovexg  6109  suppval1  6469  suppimacnvfn  6476  suppssrst  6491  suppssrgst  6492  rdgivallem  6642  frecabex  6659  mapsnconst  6966  mapsnend  7089  cc2lem  7622  addvalex  8201  uzennn  10851  seq1g  10878  seqp1g  10881  seqclg  10887  seqm1g  10889  seqfeq4g  10946  lswwrd  11329  ccatlen  11341  ccatval2  11344  ccatvalfn  11347  ccatalpha  11359  eqs1  11374  swrdlen  11402  swrdfv  11403  swrdwrdsymbg  11414  swrdswrd  11455  absval  11745  climmpt  12044  strnfvnd  13350  imasex  13603  imasival  13604  imasbas  13605  imasplusg  13606  imasmulr  13607  imasaddfnlemg  13612  imasaddvallemg  13613  gzsumfzval  13688  gzsumval2  13691  gzsumsplit1r  13692  gzsumwsubmcl  13778  gzsumcl  13781  grpsubval  13828  mulgval  13902  mulgfng  13904  mulgnngzsum  13907  prdsex  14149  prdsval  14150  prdsbaslemss  14151  prdsbas  14153  prdsplusgfval  14161  prdsmulrfval  14163  pwsplusgval  14185  pwsmulrval  14186  znval  14943  znle  14944  znbaslemnn  14946  znbas  14951  znzrhval  14954  znzrhfo  14955  znleval  14960  iscnp4  15242  cnpnei  15243  uhgrspansubgrlem  16431  wlkvtxiedg  16500  wlkvtxiedgg  16501  wlk1walkdom  16514  wlklenvclwlk  16528  trlsegvdeglem3  16617  trlsegvdeglem5  16619  eupth2lem3fi  16631  depindlem1  16661