Theorem fvexg 5689

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2825	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5685	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 5022	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4560	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4249	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ran crn 4750   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fvex  5690  ovexg  6084  suppval1  6439  suppimacnvfn  6446  suppssrst  6461  suppssrgst  6462  rdgivallem  6612  frecabex  6629  mapsnconst  6929  mapsnend  7052  cc2lem  7580  addvalex  8159  uzennn  10798  seq1g  10825  seqp1g  10828  seqclg  10834  seqm1g  10836  seqfeq4g  10893  lswwrd  11271  ccatlen  11283  ccatval2  11286  ccatvalfn  11289  ccatalpha  11301  eqs1  11316  swrdlen  11344  swrdfv  11345  swrdwrdsymbg  11356  swrdswrd  11397  absval  11686  climmpt  11985  strnfvnd  13232  prdsex  13482  prdsval  13486  prdsbaslemss  13487  prdsbas  13489  prdsplusgfval  13497  prdsmulrfval  13499  pwsplusgval  13508  pwsmulrval  13509  imasex  13518  imasival  13519  imasbas  13520  imasplusg  13521  imasmulr  13522  imasaddfnlemg  13527  imasaddvallemg  13528  gsumfzval  13604  gsumval2  13610  gsumsplit1r  13611  gsumprval  13612  gsumfzz  13708  gsumwsubmcl  13709  gsumfzcl  13712  grpsubval  13759  mulgval  13839  mulgfng  13841  mulgnngsum  13844  znval  14784  znle  14785  znbaslemnn  14787  znbas  14792  znzrhval  14795  znzrhfo  14796  znleval  14801  iscnp4  15083  cnpnei  15084  uhgrspansubgrlem  16271  wlkvtxiedg  16340  wlkvtxiedgg  16341  wlk1walkdom  16354  wlklenvclwlk  16368  trlsegvdeglem3  16457  trlsegvdeglem5  16459  eupth2lem3fi  16471  depindlem1  16501