Theorem fvexg 5505

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2737	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5501	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 4869	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4417	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4121	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 288	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   U.cuni 3789   ran crn 4605   ` cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvex  5506  ovexg  5876  rdgivallem  6349  frecabex  6366  mapsnconst  6660  cc2lem  7207  addvalex  7785  uzennn  10371  absval  10943  climmpt  11241  strnfvnd  12414  ressid  12456  iscnp4  12858  cnpnei  12859