Theorem fvexg 5574

Description: Evaluating a set function at a set exists. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 28-May-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fvexg	|- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem fvexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2771	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
2		fvssunirng 5570	. . 3 |- ( A e. _V -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( F ` A ) C_ U. ran F )
4		rnexg 4928	. . 3 |- ( F e. V -> ran F e. _V )
5		uniexg 4471	. . 3 |- ( ran F e. _V -> U. ran F e. _V )
6	4, 5	syl 14	. 2 |- ( F e. V -> U. ran F e. _V )
7		ssexg 4169	. 2 |- ( ( ( F ` A ) C_ U. ran F /\ U. ran F e. _V ) -> ( F ` A ) e. _V )
8	3, 6, 7	syl2anr 290	1 |- ( ( F e. V /\ A e. W ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   C_ wss 3154   U.cuni 3836   ran crn 4661   ` cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  fvex  5575  ovexg  5953  rdgivallem  6436  frecabex  6453  mapsnconst  6750  cc2lem  7328  addvalex  7906  uzennn  10510  seq1g  10537  seqp1g  10540  seqclg  10546  seqm1g  10548  seqfeq4g  10605  absval  11148  climmpt  11446  strnfvnd  12641  prdsex  12883  imasex  12891  imasival  12892  imasbas  12893  imasplusg  12894  imasmulr  12895  imasaddfnlemg  12900  imasaddvallemg  12901  gsumfzval  12977  gsumval2  12983  gsumsplit1r  12984  gsumprval  12985  gsumfzz  13070  gsumwsubmcl  13071  gsumfzcl  13074  grpsubval  13121  mulgval  13195  mulgfng  13197  mulgnngsum  13200  znval  14135  znle  14136  znbaslemnn  14138  znbas  14143  znzrhval  14146  znzrhfo  14147  znleval  14152  iscnp4  14397  cnpnei  14398