ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mpoexxg GIF version

Theorem mpoexxg 6214
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpoexg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpoexxg ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpoexxg
StepHypRef Expression
1 mpoexg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpofun 5980 . 2 Fun 𝐹
31dmmpossx 6203 . . 3 dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4 vex 2742 . . . . . . 7 𝑥 ∈ V
5 snexg 4186 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ V → {𝑥} ∈ V)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 {𝑥} ∈ V
7 xpexg 4742 . . . . . 6 (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
86, 7mpan 424 . . . . 5 (𝐵𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
98ralimi 2540 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10 iunexg 6123 . . . 4 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
119, 10sylan2 286 . . 3 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
12 ssexg 4144 . . 3 ((dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
133, 11, 12sylancr 414 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
14 funex 5742 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
152, 13, 14sylancr 414 1 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2739  wss 3131  {csn 3594   ciun 3888   × cxp 4626  dom cdm 4628  Fun wfun 5212  cmpo 5880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145
This theorem is referenced by:  mpoexg  6215  mpoex  6218
  Copyright terms: Public domain W3C validator