ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  neg11 Unicode version

Theorem neg11 8013
Description: Negative is one-to-one. (Contributed by NM, 8-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
neg11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  = 
-u B  <->  A  =  B ) )

Proof of Theorem neg11
StepHypRef Expression
1 negeq 7955 . . 3  |-  ( -u A  =  -u B  ->  -u -u A  =  -u -u B
)
2 negneg 8012 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
3 negneg 8012 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  -u -u B  =  B )
42, 3eqeqan12d 2155 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u -u A  =  -u -u B  <->  A  =  B ) )
51, 4syl5ib 153 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  = 
-u B  ->  A  =  B ) )
6 negeq 7955 . 2  |-  ( A  =  B  ->  -u A  =  -u B )
75, 6impbid1 141 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  = 
-u B  <->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   CCcc 7618   -ucneg 7934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7935  df-neg 7936
This theorem is referenced by:  negcon1  8014  negeq0  8016  neg11i  8043  neg11ad  8069  subeqrev  8138
  Copyright terms: Public domain W3C validator