Theorem negneg 8129

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negneg	|- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8053	. . 3 |- -u -u A = ( 0 - -u A )
2		0cn 7872	. . . 4 |- 0 e. CC
3		subneg 8128	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
4	2, 3	mpan 421	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
5	1, 4	syl5eq 2202	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = ( 0 + A ) )
6		addid2 8018	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 + A ) = A )
7	5, 6	eqtrd 2190	1 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128  (class class class)co 5826   CCcc 7732   0cc0 7734   + caddc 7737   - cmin 8050   -ucneg 8051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-setind 4498  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-sub 8052  df-neg 8053

This theorem is referenced by:  neg11  8130  negcon1  8131  negreb  8144  negnegi  8149  negnegd  8181  negf1o  8261  mul2neg  8277  divneg2ap  8613  nnnegz  9175  znegclb  9205  expineg2  10437  shftcan2  10746  negfi  11138  dvdsnegb  11715