Theorem negneg 8169

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negneg	|- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 8093	. . 3 |- -u -u A = ( 0 - -u A )
2		0cn 7912	. . . 4 |- 0 e. CC
3		subneg 8168	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
4	2, 3	mpan 422	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
5	1, 4	eqtrid 2215	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = ( 0 + A ) )
6		addid2 8058	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 + A ) = A )
7	5, 6	eqtrd 2203	1 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   + caddc 7777   - cmin 8090   -ucneg 8091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-setind 4521  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-sub 8092  df-neg 8093

This theorem is referenced by:  neg11  8170  negcon1  8171  negreb  8184  negnegi  8189  negnegd  8221  negf1o  8301  mul2neg  8317  divneg2ap  8653  nnnegz  9215  znegclb  9245  expineg2  10485  shftcan2  10799  negfi  11191  dvdsnegb  11770