Theorem negneg 7795

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negneg	|- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-neg 7719	. . 3 |- -u -u A = ( 0 - -u A )
2		0cn 7543	. . . 4 |- 0 e. CC
3		subneg 7794	. . . 4 |- ( ( 0 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
4	2, 3	mpan 416	. . 3 |- ( A e. CC -> ( 0 - -u A ) = ( 0 + A ) )
5	1, 4	syl5eq 2133	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = ( 0 + A ) )
6		addid2 7684	. 2 |- ( A e. CC -> ( 0 + A ) = A )
7	5, 6	eqtrd 2121	1 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1290   e. wcel 1439  (class class class)co 5668   CCcc 7411   0cc0 7413   + caddc 7416   - cmin 7716   -ucneg 7717

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-setind 4368  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-sub 7718  df-neg 7719

This theorem is referenced by:  neg11  7796  negcon1  7797  negreb  7810  negnegi  7815  negnegd  7847  negf1o  7923  mul2neg  7939  divneg2ap  8266  nnnegz  8816  znegclb  8846  expineg2  10027  shftcan2  10332  negfi  10722  dvdsnegb  11154