Theorem negcon1 8211

Description: Negative contraposition law. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
negcon1	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )

Proof of Theorem negcon1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8159	. . . 4 |- ( A e. CC -> -u A e. CC )
2		neg11 8210	. . . 4 |- ( ( -u A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u -u A = -u B <-> -u A = B ) )
3	1, 2	sylan 283	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u -u A = -u B <-> -u A = B ) )
4		negneg 8209	. . . . 5 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> -u -u A = A )
6	5	eqeq1d 2186	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u -u A = -u B <-> A = -u B ) )
7	3, 6	bitr3d 190	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
8		eqcom 2179	. 2 |- ( A = -u B <-> -u B = A )
9	7, 8	bitrdi 196	1 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   CCcc 7811   -ucneg 8131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132  df-neg 8133

This theorem is referenced by:  negcon2  8212  negcon1i  8241  negcon1d  8264  elznn0  9270  qsqeqor  10633