ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negcon1 Unicode version

Theorem negcon1 8021
Description: Negative contraposition law. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
negcon1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  =  B  <->  -u B  =  A ) )

Proof of Theorem negcon1
StepHypRef Expression
1 negcl 7969 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
2 neg11 8020 . . . 4  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u -u A  =  -u B  <->  -u A  =  B ) )
31, 2sylan 281 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u -u A  =  -u B  <->  -u A  =  B ) )
4 negneg 8019 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  -u -u A  =  A )
54adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u -u A  =  A )
65eqeq1d 2148 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u -u A  =  -u B  <->  A  =  -u B ) )
73, 6bitr3d 189 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  =  B  <->  A  =  -u B
) )
8 eqcom 2141 . 2  |-  ( A  =  -u B  <->  -u B  =  A )
97, 8syl6bb 195 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  =  B  <->  -u B  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   CCcc 7625   -ucneg 7941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942  df-neg 7943
This theorem is referenced by:  negcon2  8022  negcon1i  8051  negcon1d  8074  elznn0  9076
  Copyright terms: Public domain W3C validator