Theorem neg11ad 7986

Description: The negatives of two complex numbers are equal iff they are equal. Deduction form of neg11 7930. Generalization of neg11d 8002. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
neg11ad.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
neg11ad	|- ( ph -> ( -u A = -u B <-> A = B ) )

Proof of Theorem neg11ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		neg11ad.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		neg11 7930	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = -u B <-> A = B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 406	1 |- ( ph -> ( -u A = -u B <-> A = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1312   e. wcel 1461   CCcc 7539   -ucneg 7851

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-setind 4410  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-sub 7852  df-neg 7853

This theorem is referenced by:  negned  7987  neg11d  8002  eqord2  8159  minclpr  10894