Theorem negeq0 8545

Description: A number is zero iff its negative is zero. (Contributed by NM, 12-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
negeq0	|- ( A e. CC -> ( A = 0 <-> -u A = 0 ) )

Proof of Theorem negeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8283	. . 3 |- 0 e. CC
2		neg11 8542	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( -u A = -u 0 <-> A = 0 ) )
3	1, 2	mpan2 425	. 2 |- ( A e. CC -> ( -u A = -u 0 <-> A = 0 ) )
4		neg0 8537	. . 3 |- -u 0 = 0
5	4	eqeq2i 2245	. 2 |- ( -u A = -u 0 <-> -u A = 0 )
6	3, 5	bitr3di 195	1 |- ( A e. CC -> ( A = 0 <-> -u A = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   CCcc 8142   0cc0 8144   -ucneg 8463

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-setind 4665  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-addcom 8244  ax-addass 8246  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-cnre 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-sub 8464  df-neg 8465

This theorem is referenced by:  negne0bi  8564  negeq0d  8594  xnn0nnen  10827  mulgnegnn  13890