ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mingeb Unicode version

Theorem mingeb 11194
Description: Equivalence of  <_ and being equal to the minimum of two reals. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
mingeb  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <-> inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  A ) )

Proof of Theorem mingeb
StepHypRef Expression
1 renegcl 8169 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
2 renegcl 8169 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
3 maxcl 11163 . . . . 5  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  -u A  e.  RR )  ->  sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
41, 2, 3syl2anr 288 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  e.  RR )
54recnd 7937 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  e.  CC )
62adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u A  e.  RR )
76recnd 7937 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u A  e.  CC )
85, 7neg11ad 8215 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  =  -u -u A  <->  sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  = 
-u A ) )
9 mincom 11181 . . . 4  |- inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  = inf ( { B ,  A } ,  RR ,  <  )
10 minmax 11182 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  -> inf ( { B ,  A } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  ) )
1110ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> inf ( { B ,  A } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  ) )
129, 11eqtrid 2215 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  -u sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  ) )
13 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
1413recnd 7937 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  CC )
1514negnegd 8210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u -u A  =  A )
1615eqcomd 2176 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  =  -u -u A
)
1712, 16eqeq12d 2185 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  A  <->  -u sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  =  -u -u A ) )
18 leneg 8373 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  -u B  <_  -u A ) )
19 maxleb 11169 . . . 4  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  -u A  e.  RR )  ->  ( -u B  <_ 
-u A  <->  sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  =  -u A
) )
201, 2, 19syl2anr 288 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <_  -u A  <->  sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  =  -u A ) )
2118, 20bitrd 187 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  sup ( { -u B ,  -u A } ,  RR ,  <  )  = 
-u A ) )
228, 17, 213bitr4rd 220 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <-> inf ( { A ,  B } ,  RR ,  <  )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   {cpr 3582   class class class wbr 3987   supcsup 6956  infcinf 6957   RRcr 7762    < clt 7943    <_ cle 7944   -ucneg 8080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-rp 9600  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952
This theorem is referenced by:  2zinfmin  11195
  Copyright terms: Public domain W3C validator