Theorem neg11ad 8277

Description: The negatives of two complex numbers are equal iff they are equal. Deduction form of neg11 8221. Generalization of neg11d 8293. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
neg11ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
neg11ad	⊢ (𝜑 → (-𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem neg11ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		neg11ad.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		neg11 8221	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ℂcc 7822  -cneg 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8143  df-neg 8144

This theorem is referenced by:  negned  8278  neg11d  8293  eqord2  8454  qsqeqor  10644  minclpr  11258  mingeb  11263  ivthdec  14393