Theorem neg11ad 8633

Description: The negatives of two complex numbers are equal iff they are equal. Deduction form of neg11 8577. Generalization of neg11d 8649. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
neg11ad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
neg11ad	⊢ (𝜑 → (-𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem neg11ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		neg11ad.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		neg11 8577	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (-𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ℂcc 8177  -cneg 8498

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500

This theorem is used by:  negned  8634  neg11d  8649  eqord2  8812  qsqeqor  11087  minclpr  12003  mingeb  12008  ivthdec  15745