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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > qsqeqor | Unicode version |
Description: The squares of two rational numbers are equal iff one number equals the other or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2024.) |
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qsqeqor |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | qre 9628 |
. . . . . . 7
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2 | 1 | ad3antrrr 492 |
. . . . . 6
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3 | simplr 528 |
. . . . . 6
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4 | qre 9628 |
. . . . . . 7
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5 | 4 | ad3antlr 493 |
. . . . . 6
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6 | simpr 110 |
. . . . . 6
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7 | sq11 10596 |
. . . . . 6
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8 | 2, 3, 5, 6, 7 | syl22anc 1239 |
. . . . 5
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9 | orc 712 |
. . . . 5
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10 | 8, 9 | biimtrdi 163 |
. . . 4
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11 | oveq1 5885 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . . 6
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13 | oveq1 5885 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
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15 | qcn 9637 |
. . . . . . . . . 10
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16 | sqneg 10582 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 15, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | ad2antlr 489 |
. . . . . . . 8
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19 | 14, 18 | eqtrd 2210 |
. . . . . . 7
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20 | 19 | ex 115 |
. . . . . 6
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21 | 12, 20 | jaod 717 |
. . . . 5
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22 | 21 | ad2antrr 488 |
. . . 4
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23 | 10, 22 | impbid 129 |
. . 3
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24 | 17 | eqeq2d 2189 |
. . . . . 6
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25 | 24 | ad3antlr 493 |
. . . . 5
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26 | 1 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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27 | simplr 528 |
. . . . . . 7
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28 | qnegcl 9639 |
. . . . . . . . 9
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29 | qre 9628 |
. . . . . . . . 9
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30 | 28, 29 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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31 | 30 | ad3antlr 493 |
. . . . . . 7
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32 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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33 | 4 | le0neg1d 8477 |
. . . . . . . . 9
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34 | 33 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . 8
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35 | 32, 34 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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36 | sq11 10596 |
. . . . . . 7
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37 | 26, 27, 31, 35, 36 | syl22anc 1239 |
. . . . . 6
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38 | olc 711 |
. . . . . 6
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39 | 37, 38 | biimtrdi 163 |
. . . . 5
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40 | 25, 39 | sylbird 170 |
. . . 4
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41 | 21 | ad2antrr 488 |
. . . 4
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42 | 40, 41 | impbid 129 |
. . 3
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43 | 0z 9267 |
. . . . . 6
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44 | zq 9629 |
. . . . . 6
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45 | 43, 44 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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46 | qletric 10247 |
. . . . 5
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47 | 45, 46 | mpan 424 |
. . . 4
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48 | 47 | ad2antlr 489 |
. . 3
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49 | 23, 42, 48 | mpjaodan 798 |
. 2
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50 | qnegcl 9639 |
. . . . . . . . . 10
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51 | qre 9628 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 50, 51 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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54 | simplr 528 |
. . . . . . . . 9
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55 | 1 | le0neg1d 8477 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 55 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . . 9
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57 | 54, 56 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
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58 | 4 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . 8
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59 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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60 | sq11 10596 |
. . . . . . . 8
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61 | 53, 57, 58, 59, 60 | syl22anc 1239 |
. . . . . . 7
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62 | 61 | biimpd 144 |
. . . . . 6
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63 | qcn 9637 |
. . . . . . . . . 10
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64 | sqneg 10582 |
. . . . . . . . . 10
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65 | 63, 64 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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66 | 65 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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67 | 66 | eqeq1d 2186 |
. . . . . . 7
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68 | 67 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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69 | negcon1 8212 |
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70 | 63, 15, 69 | syl2an 289 |
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71 | eqcom 2179 |
. . . . . . . 8
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72 | 70, 71 | bitrdi 196 |
. . . . . . 7
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73 | 72 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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74 | 62, 68, 73 | 3imtr3d 202 |
. . . . 5
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75 | 74, 38 | syl6 33 |
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76 | 21 | ad2antrr 488 |
. . . 4
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77 | 75, 76 | impbid 129 |
. . 3
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78 | 52 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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79 | simplr 528 |
. . . . . . . 8
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80 | 55 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . . 8
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81 | 79, 80 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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82 | 30 | ad3antlr 493 |
. . . . . . 7
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83 | simpr 110 |
. . . . . . . 8
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84 | 33 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . 8
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85 | 83, 84 | mpbid 147 |
. . . . . . 7
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86 | sq11 10596 |
. . . . . . 7
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87 | 78, 81, 82, 85, 86 | syl22anc 1239 |
. . . . . 6
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88 | 65, 17 | eqeqan12d 2193 |
. . . . . . 7
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89 | 88 | ad2antrr 488 |
. . . . . 6
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90 | 63 | ad3antrrr 492 |
. . . . . . 7
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91 | 15 | ad3antlr 493 |
. . . . . . 7
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92 | 90, 91 | neg11ad 8267 |
. . . . . 6
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93 | 87, 89, 92 | 3bitr3d 218 |
. . . . 5
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94 | 93, 9 | biimtrdi 163 |
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95 | 21 | ad2antrr 488 |
. . . 4
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96 | 94, 95 | impbid 129 |
. . 3
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97 | 47 | ad2antlr 489 |
. . 3
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98 | 77, 96, 97 | mpjaodan 798 |
. 2
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99 | qletric 10247 |
. . . 4
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100 | 45, 99 | mpan 424 |
. . 3
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101 | 100 | adantr 276 |
. 2
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102 | 49, 98, 101 | mpjaodan 798 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7905 ax-resscn 7906 ax-1cn 7907 ax-1re 7908 ax-icn 7909 ax-addcl 7910 ax-addrcl 7911 ax-mulcl 7912 ax-mulrcl 7913 ax-addcom 7914 ax-mulcom 7915 ax-addass 7916 ax-mulass 7917 ax-distr 7918 ax-i2m1 7919 ax-0lt1 7920 ax-1rid 7921 ax-0id 7922 ax-rnegex 7923 ax-precex 7924 ax-cnre 7925 ax-pre-ltirr 7926 ax-pre-ltwlin 7927 ax-pre-lttrn 7928 ax-pre-apti 7929 ax-pre-ltadd 7930 ax-pre-mulgt0 7931 ax-pre-mulext 7932 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5834 df-ov 5881 df-oprab 5882 df-mpo 5883 df-1st 6144 df-2nd 6145 df-recs 6309 df-frec 6395 df-pnf 7997 df-mnf 7998 df-xr 7999 df-ltxr 8000 df-le 8001 df-sub 8133 df-neg 8134 df-reap 8535 df-ap 8542 df-div 8633 df-inn 8923 df-2 8981 df-n0 9180 df-z 9257 df-uz 9532 df-q 9623 df-rp 9657 df-seqfrec 10449 df-exp 10523 |
This theorem is referenced by: 4sqlem10 12388 |
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