ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qsqeqor Unicode version

Theorem qsqeqor 10634
Description: The squares of two rational numbers are equal iff one number equals the other or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
qsqeqor  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )

Proof of Theorem qsqeqor
StepHypRef Expression
1 qre 9628 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  RR )
21ad3antrrr 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  A  e.  RR )
3 simplr 528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  0  <_  A )
4 qre 9628 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  RR )
54ad3antlr 493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  B  e.  RR )
6 simpr 110 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  0  <_  B )
7 sq11 10596 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  A  =  B
) )
82, 3, 5, 6, 7syl22anc 1239 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  A  =  B ) )
9 orc 712 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A  =  B  \/  A  =  -u B ) )
108, 9biimtrdi 163 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  -> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
11 oveq1 5885 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
1211a1i 9 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  B  ->  ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
13 oveq1 5885 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  -u B  ->  ( A ^ 2 )  =  ( -u B ^
2 ) )
1413adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  =  -u B )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( -u B ^
2 ) )
15 qcn 9637 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
16 sqneg 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( -u B ^ 2 )  =  ( B ^
2 ) )
1715, 16syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  QQ  ->  ( -u B ^ 2 )  =  ( B ^
2 ) )
1817ad2antlr 489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  =  -u B )  ->  ( -u B ^ 2 )  =  ( B ^
2 ) )
1914, 18eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  =  -u B )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
2019ex 115 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  =  -u B  ->  ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
2112, 20jaod 717 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A  =  B  \/  A  = 
-u B )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
2221ad2antrr 488 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A  =  B  \/  A  =  -u B )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
2310, 22impbid 129 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
2417eqeq2d 2189 . . . . . 6  |-  ( B  e.  QQ  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( -u B ^ 2 )  <->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
2524ad3antlr 493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( -u B ^ 2 )  <->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
261ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  A  e.  RR )
27 simplr 528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  0  <_  A )
28 qnegcl 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  QQ  ->  -u B  e.  QQ )
29 qre 9628 . . . . . . . . 9  |-  ( -u B  e.  QQ  ->  -u B  e.  RR )
3028, 29syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  QQ  ->  -u B  e.  RR )
3130ad3antlr 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  -u B  e.  RR )
32 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  B  <_  0 )
334le0neg1d 8477 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  QQ  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
3433ad3antlr 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
3532, 34mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u B )
36 sq11 10596 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <_  -u B ) )  -> 
( ( A ^
2 )  =  (
-u B ^ 2 )  <->  A  =  -u B
) )
3726, 27, 31, 35, 36syl22anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( -u B ^ 2 )  <->  A  =  -u B ) )
38 olc 711 . . . . . 6  |-  ( A  =  -u B  ->  ( A  =  B  \/  A  =  -u B ) )
3937, 38biimtrdi 163 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( -u B ^ 2 )  -> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
4025, 39sylbird 170 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  -> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
4121ad2antrr 488 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A  =  B  \/  A  =  -u B )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
4240, 41impbid 129 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
43 0z 9267 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
44 zq 9629 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
4543, 44ax-mp 5 . . . . 5  |-  0  e.  QQ
46 qletric 10247 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( 0  <_  B  \/  B  <_  0 ) )
4745, 46mpan 424 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  (
0  <_  B  \/  B  <_  0 ) )
4847ad2antlr 489 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A
)  ->  ( 0  <_  B  \/  B  <_  0 ) )
4923, 42, 48mpjaodan 798 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  0  <_  A
)  ->  ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  = 
-u B ) ) )
50 qnegcl 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  QQ )
51 qre 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u A  e.  QQ  ->  -u A  e.  RR )
5250, 51syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  QQ  ->  -u A  e.  RR )
5352ad3antrrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  -u A  e.  RR )
54 simplr 528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  A  <_  0 )
551le0neg1d 8477 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
5655ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
5754, 56mpbid 147 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  0  <_ 
-u A )
584ad3antlr 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  B  e.  RR )
59 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  0  <_  B )
60 sq11 10596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )  -> 
( ( -u A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  -u A  =  B ) )
6153, 57, 58, 59, 60syl22anc 1239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  (
( -u A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  -u A  =  B ) )
6261biimpd 144 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  (
( -u A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  ->  -u A  =  B ) )
63 qcn 9637 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
64 sqneg 10582 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u A ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
6563, 64syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( -u A ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
6665adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( -u A ^
2 )  =  ( A ^ 2 ) )
6766eqeq1d 2186 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( -u A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
6867ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  (
( -u A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
69 negcon1 8212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  =  B  <->  -u B  =  A ) )
7063, 15, 69syl2an 289 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( -u A  =  B  <->  -u B  =  A ) )
71 eqcom 2179 . . . . . . . 8  |-  ( -u B  =  A  <->  A  =  -u B )
7270, 71bitrdi 196 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( -u A  =  B  <->  A  =  -u B
) )
7372ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  ( -u A  =  B  <->  A  =  -u B ) )
7462, 68, 733imtr3d 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  ->  A  =  -u B ) )
7574, 38syl6 33 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  -> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
7621ad2antrr 488 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A  =  B  \/  A  =  -u B )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
7775, 76impbid 129 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  0  <_  B )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
7852ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  -u A  e.  RR )
79 simplr 528 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  A  <_  0 )
8055ad3antrrr 492 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  ( A  <_  0  <->  0  <_  -u A ) )
8179, 80mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u A )
8230ad3antlr 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  -u B  e.  RR )
83 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  B  <_  0 )
8433ad3antlr 493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
8583, 84mpbid 147 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  0  <_ 
-u B )
86 sq11 10596 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u A  e.  RR  /\  0  <_  -u A )  /\  ( -u B  e.  RR  /\  0  <_  -u B ) )  ->  ( ( -u A ^ 2 )  =  ( -u B ^
2 )  <->  -u A  = 
-u B ) )
8778, 81, 82, 85, 86syl22anc 1239 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( -u A ^ 2 )  =  ( -u B ^ 2 )  <->  -u A  = 
-u B ) )
8865, 17eqeqan12d 2193 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( -u A ^ 2 )  =  ( -u B ^
2 )  <->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
8988ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( -u A ^ 2 )  =  ( -u B ^ 2 )  <->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
9063ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  A  e.  CC )
9115ad3antlr 493 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  B  e.  CC )
9290, 91neg11ad 8267 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  ( -u A  =  -u B  <->  A  =  B ) )
9387, 89, 923bitr3d 218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  A  =  B ) )
9493, 9biimtrdi 163 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  -> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
9521ad2antrr 488 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A  =  B  \/  A  =  -u B )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) ) )
9694, 95impbid 129 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0 )  /\  B  <_  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
9747ad2antlr 489 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0
)  ->  ( 0  <_  B  \/  B  <_  0 ) )
9877, 96, 97mpjaodan 798 . 2  |-  ( ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  /\  A  <_  0
)  ->  ( ( A ^ 2 )  =  ( B ^ 2 )  <->  ( A  =  B  \/  A  = 
-u B ) ) )
99 qletric 10247 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  QQ  /\  A  e.  QQ )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
10045, 99mpan 424 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  ->  (
0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
101100adantr 276 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
10249, 98, 101mpjaodan 798 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( ( A ^
2 )  =  ( B ^ 2 )  <-> 
( A  =  B  \/  A  =  -u B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    = wceq 1353    e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   CCcc 7812   RRcr 7813   0cc0 7814    <_ cle 7996   -ucneg 8132   2c2 8973   ZZcz 9256   QQcq 9622   ^cexp 10522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-seqfrec 10449  df-exp 10523
This theorem is referenced by:  4sqlem10  12388
  Copyright terms: Public domain W3C validator