Theorem qsqeqor 10721

Description: The squares of two rational numbers are equal iff one number equals the other or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
qsqeqor	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Proof of Theorem qsqeqor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9690	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2	1	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> A e. RR )
3		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ A )
4		qre 9690	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
5	4	ad3antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
7		sq11 10683	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl22anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
9		orc 713	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
10	8, 9	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
11		oveq1 5925	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
13		oveq1 5925	. . . . . . . . 9 |- ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
15		qcn 9699	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
16		sqneg 10669	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
19	14, 18	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
20	19	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
21	12, 20	jaod 718	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
22	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
23	10, 22	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
24	17	eqeq2d 2205	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
25	24	ad3antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
26	1	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> A e. RR )
27		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ A )
28		qnegcl 9701	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> -u B e. QQ )
29		qre 9690	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. QQ -> -u B e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> -u B e. RR )
31	30	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
32		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
33	4	le0neg1d 8536	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
34	33	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
35	32, 34	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
36		sq11 10683	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
37	26, 27, 31, 35, 36	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
38		olc 712	. . . . . 6 |- ( A = -u B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
39	37, 38	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
40	25, 39	sylbird 170	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
41	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
43		0z 9328	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
44		zq 9691	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. QQ
46		qletric 10311	. . . . 5 |- ( ( 0 e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
47	45, 46	mpan 424	. . . 4 |- ( B e. QQ -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
48	47	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
49	23, 42, 48	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
50		qnegcl 9701	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )
51		qre 9690	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. QQ -> -u A e. RR )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> -u A e. RR )
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> -u A e. RR )
54		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> A <_ 0 )
55	1	le0neg1d 8536	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
57	54, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ -u A )
58	4	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
59		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
60		sq11 10683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
61	53, 57, 58, 59, 60	syl22anc 1250	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
62	61	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> -u A = B ) )
63		qcn 9699	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
64		sqneg 10669	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
67	66	eqeq1d 2202	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
69		negcon1 8271	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
70	63, 15, 69	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
71		eqcom 2195	. . . . . . . 8 |- ( -u B = A <-> A = -u B )
72	70, 71	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
74	62, 68, 73	3imtr3d 202	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> A = -u B ) )
75	74, 38	syl6 33	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
76	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
77	75, 76	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
78	52	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u A e. RR )
79		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A <_ 0 )
80	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
81	79, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u A )
82	30	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
83		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
84	33	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
85	83, 84	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
86		sq11 10683	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
87	78, 81, 82, 85, 86	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
88	65, 17	eqeqan12d 2209	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
89	88	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
90	63	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A e. CC )
91	15	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B e. CC )
92	90, 91	neg11ad 8326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( -u A = -u B <-> A = B ) )
93	87, 89, 92	3bitr3d 218	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
94	93, 9	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
95	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
96	94, 95	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
97	47	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
98	77, 96, 97	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
99		qletric 10311	. . . 4 |- ( ( 0 e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
100	45, 99	mpan 424	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
101	100	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
102	49, 98, 101	mpjaodan 799	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   CCcc 7870   RRcr 7871   0cc0 7872   <_ cle 8055   -ucneg 8191   2c2 9033   ZZcz 9317   QQcq 9684   ^cexp 10609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610

This theorem is referenced by:  4sqlem10  12525