Theorem qsqeqor 10911

Description: The squares of two rational numbers are equal iff one number equals the other or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
qsqeqor	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Proof of Theorem qsqeqor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9858	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2	1	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> A e. RR )
3		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ A )
4		qre 9858	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
5	4	ad3antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
7		sq11 10873	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl22anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
9		orc 719	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
10	8, 9	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
11		oveq1 6024	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
13		oveq1 6024	. . . . . . . . 9 |- ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
15		qcn 9867	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
16		sqneg 10859	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
19	14, 18	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
20	19	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
21	12, 20	jaod 724	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
22	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
23	10, 22	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
24	17	eqeq2d 2243	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
25	24	ad3antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
26	1	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> A e. RR )
27		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ A )
28		qnegcl 9869	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> -u B e. QQ )
29		qre 9858	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. QQ -> -u B e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> -u B e. RR )
31	30	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
32		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
33	4	le0neg1d 8696	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
34	33	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
35	32, 34	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
36		sq11 10873	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
37	26, 27, 31, 35, 36	syl22anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
38		olc 718	. . . . . 6 |- ( A = -u B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
39	37, 38	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
40	25, 39	sylbird 170	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
41	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
43		0z 9489	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
44		zq 9859	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. QQ
46		qletric 10500	. . . . 5 |- ( ( 0 e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
47	45, 46	mpan 424	. . . 4 |- ( B e. QQ -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
48	47	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
49	23, 42, 48	mpjaodan 805	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
50		qnegcl 9869	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )
51		qre 9858	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. QQ -> -u A e. RR )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> -u A e. RR )
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> -u A e. RR )
54		simplr 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> A <_ 0 )
55	1	le0neg1d 8696	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
57	54, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ -u A )
58	4	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
59		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
60		sq11 10873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
61	53, 57, 58, 59, 60	syl22anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
62	61	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> -u A = B ) )
63		qcn 9867	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
64		sqneg 10859	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
67	66	eqeq1d 2240	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
69		negcon1 8430	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
70	63, 15, 69	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
71		eqcom 2233	. . . . . . . 8 |- ( -u B = A <-> A = -u B )
72	70, 71	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
74	62, 68, 73	3imtr3d 202	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> A = -u B ) )
75	74, 38	syl6 33	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
76	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
77	75, 76	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
78	52	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u A e. RR )
79		simplr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A <_ 0 )
80	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
81	79, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u A )
82	30	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
83		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
84	33	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
85	83, 84	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
86		sq11 10873	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
87	78, 81, 82, 85, 86	syl22anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
88	65, 17	eqeqan12d 2247	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
89	88	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
90	63	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A e. CC )
91	15	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B e. CC )
92	90, 91	neg11ad 8485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( -u A = -u B <-> A = B ) )
93	87, 89, 92	3bitr3d 218	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
94	93, 9	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
95	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
96	94, 95	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
97	47	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
98	77, 96, 97	mpjaodan 805	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
99		qletric 10500	. . . 4 |- ( ( 0 e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
100	45, 99	mpan 424	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
101	100	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
102	49, 98, 101	mpjaodan 805	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   RRcr 8030   0cc0 8031   <_ cle 8214   -ucneg 8350   2c2 9193   ZZcz 9478   QQcq 9852   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  4sqlem10  12959