Theorem qsqeqor 10645

Description: The squares of two rational numbers are equal iff one number equals the other or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
qsqeqor	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Proof of Theorem qsqeqor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9639	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2	1	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> A e. RR )
3		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ A )
4		qre 9639	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
5	4	ad3antlr 493	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
6		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
7		sq11 10607	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl22anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
9		orc 713	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
10	8, 9	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
11		oveq1 5895	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
13		oveq1 5895	. . . . . . . . 9 |- ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
15		qcn 9648	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
16		sqneg 10593	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
19	14, 18	eqtrd 2220	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
20	19	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
21	12, 20	jaod 718	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
22	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
23	10, 22	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
24	17	eqeq2d 2199	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
25	24	ad3antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
26	1	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> A e. RR )
27		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ A )
28		qnegcl 9650	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> -u B e. QQ )
29		qre 9639	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. QQ -> -u B e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> -u B e. RR )
31	30	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
32		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
33	4	le0neg1d 8488	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
34	33	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
35	32, 34	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
36		sq11 10607	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
37	26, 27, 31, 35, 36	syl22anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
38		olc 712	. . . . . 6 |- ( A = -u B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
39	37, 38	biimtrdi 163	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
40	25, 39	sylbird 170	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
41	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
43		0z 9278	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
44		zq 9640	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. QQ
46		qletric 10258	. . . . 5 |- ( ( 0 e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
47	45, 46	mpan 424	. . . 4 |- ( B e. QQ -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
48	47	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
49	23, 42, 48	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
50		qnegcl 9650	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )
51		qre 9639	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. QQ -> -u A e. RR )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> -u A e. RR )
53	52	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> -u A e. RR )
54		simplr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> A <_ 0 )
55	1	le0neg1d 8488	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
56	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
57	54, 56	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ -u A )
58	4	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
59		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
60		sq11 10607	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
61	53, 57, 58, 59, 60	syl22anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
62	61	biimpd 144	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> -u A = B ) )
63		qcn 9648	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
64		sqneg 10593	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
66	65	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
67	66	eqeq1d 2196	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
68	67	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
69		negcon1 8223	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
70	63, 15, 69	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
71		eqcom 2189	. . . . . . . 8 |- ( -u B = A <-> A = -u B )
72	70, 71	bitrdi 196	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
73	72	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
74	62, 68, 73	3imtr3d 202	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> A = -u B ) )
75	74, 38	syl6 33	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
76	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
77	75, 76	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
78	52	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u A e. RR )
79		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A <_ 0 )
80	55	ad3antrrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
81	79, 80	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u A )
82	30	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
83		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
84	33	ad3antlr 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
85	83, 84	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
86		sq11 10607	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
87	78, 81, 82, 85, 86	syl22anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
88	65, 17	eqeqan12d 2203	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
89	88	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
90	63	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A e. CC )
91	15	ad3antlr 493	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B e. CC )
92	90, 91	neg11ad 8278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( -u A = -u B <-> A = B ) )
93	87, 89, 92	3bitr3d 218	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
94	93, 9	biimtrdi 163	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
95	21	ad2antrr 488	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
96	94, 95	impbid 129	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
97	47	ad2antlr 489	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
98	77, 96, 97	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
99		qletric 10258	. . . 4 |- ( ( 0 e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
100	45, 99	mpan 424	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
101	100	adantr 276	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
102	49, 98, 101	mpjaodan 799	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1363   e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   CCcc 7823   RRcr 7824   0cc0 7825   <_ cle 8007   -ucneg 8143   2c2 8984   ZZcz 9267   QQcq 9633   ^cexp 10533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534

This theorem is referenced by:  4sqlem10  12399