Theorem qsqeqor 10586

Description: The squares of two rational numbers are equal iff one number equals the other or its negative. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
qsqeqor	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Proof of Theorem qsqeqor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qre 9584	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A e. RR )
2	1	ad3antrrr 489	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> A e. RR )
3		simplr 525	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ A )
4		qre 9584	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> B e. RR )
5	4	ad3antlr 490	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
6		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
7		sq11 10548	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
8	2, 3, 5, 6, 7	syl22anc 1234	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
9		orc 707	. . . . 5 |- ( A = B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
10	8, 9	syl6bi 162	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
11		oveq1 5860	. . . . . . 7 |- ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
12	11	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
13		oveq1 5860	. . . . . . . . 9 |- ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
14	13	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) )
15		qcn 9593	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
16		sqneg 10535	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. CC -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
18	17	ad2antlr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( -u B ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
19	14, 18	eqtrd 2203	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) )
20	19	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A = -u B -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
21	12, 20	jaod 712	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
22	21	ad2antrr 485	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
23	10, 22	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
24	17	eqeq2d 2182	. . . . . 6 |- ( B e. QQ -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
25	24	ad3antlr 490	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
26	1	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> A e. RR )
27		simplr 525	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ A )
28		qnegcl 9595	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> -u B e. QQ )
29		qre 9584	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. QQ -> -u B e. RR )
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( B e. QQ -> -u B e. RR )
31	30	ad3antlr 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
32		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
33	4	le0neg1d 8436	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
34	33	ad3antlr 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
35	32, 34	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
36		sq11 10548	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
37	26, 27, 31, 35, 36	syl22anc 1234	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> A = -u B ) )
38		olc 706	. . . . . 6 |- ( A = -u B -> ( A = B \/ A = -u B ) )
39	37, 38	syl6bi 162	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
40	25, 39	sylbird 169	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
41	21	ad2antrr 485	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
42	40, 41	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
43		0z 9223	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
44		zq 9585	. . . . . 6 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
45	43, 44	ax-mp 5	. . . . 5 |- 0 e. QQ
46		qletric 10200	. . . . 5 |- ( ( 0 e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
47	45, 46	mpan 422	. . . 4 |- ( B e. QQ -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
48	47	ad2antlr 486	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
49	23, 42, 48	mpjaodan 793	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ 0 <_ A ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
50		qnegcl 9595	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> -u A e. QQ )
51		qre 9584	. . . . . . . . . 10 |- ( -u A e. QQ -> -u A e. RR )
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> -u A e. RR )
53	52	ad3antrrr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> -u A e. RR )
54		simplr 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> A <_ 0 )
55	1	le0neg1d 8436	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
56	55	ad3antrrr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
57	54, 56	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ -u A )
58	4	ad3antlr 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> B e. RR )
59		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ B )
60		sq11 10548	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
61	53, 57, 58, 59, 60	syl22anc 1234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> -u A = B ) )
62	61	biimpd 143	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> -u A = B ) )
63		qcn 9593	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
64		sqneg 10535	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
65	63, 64	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
66	65	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
67	66	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
68	67	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
69		negcon1 8171	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
70	63, 15, 69	syl2an 287	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> -u B = A ) )
71		eqcom 2172	. . . . . . . 8 |- ( -u B = A <-> A = -u B )
72	70, 71	bitrdi 195	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
73	72	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( -u A = B <-> A = -u B ) )
74	62, 68, 73	3imtr3d 201	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> A = -u B ) )
75	74, 38	syl6 33	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
76	21	ad2antrr 485	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
77	75, 76	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ 0 <_ B ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
78	52	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u A e. RR )
79		simplr 525	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A <_ 0 )
80	55	ad3antrrr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
81	79, 80	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u A )
82	30	ad3antlr 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> -u B e. RR )
83		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B <_ 0 )
84	33	ad3antlr 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( B <_ 0 <-> 0 <_ -u B ) )
85	83, 84	mpbid 146	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> 0 <_ -u B )
86		sq11 10548	. . . . . . 7 |- ( ( ( -u A e. RR /\ 0 <_ -u A ) /\ ( -u B e. RR /\ 0 <_ -u B ) ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
87	78, 81, 82, 85, 86	syl22anc 1234	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> -u A = -u B ) )
88	65, 17	eqeqan12d 2186	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
89	88	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( -u A ^ 2 ) = ( -u B ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
90	63	ad3antrrr 489	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> A e. CC )
91	15	ad3antlr 490	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> B e. CC )
92	90, 91	neg11ad 8226	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( -u A = -u B <-> A = B ) )
93	87, 89, 92	3bitr3d 217	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> A = B ) )
94	93, 9	syl6bi 162	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) -> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
95	21	ad2antrr 485	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A = B \/ A = -u B ) -> ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) ) )
96	94, 95	impbid 128	. . 3 |- ( ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) /\ B <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
97	47	ad2antlr 486	. . 3 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( 0 <_ B \/ B <_ 0 ) )
98	77, 96, 97	mpjaodan 793	. 2 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) /\ A <_ 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )
99		qletric 10200	. . . 4 |- ( ( 0 e. QQ /\ A e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
100	45, 99	mpan 422	. . 3 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
101	100	adantr 274	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( 0 <_ A \/ A <_ 0 ) )
102	49, 98, 101	mpjaodan 793	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A ^ 2 ) = ( B ^ 2 ) <-> ( A = B \/ A = -u B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   <_ cle 7955   -ucneg 8091   2c2 8929   ZZcz 9212   QQcq 9578   ^cexp 10475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476

This theorem is referenced by:  4sqlem10  12339