ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  negcon1 GIF version

Theorem negcon1 8007
Description: Negative contraposition law. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
negcon1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem negcon1
StepHypRef Expression
1 negcl 7955 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 neg11 8006 . . . 4 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
31, 2sylan 281 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
4 negneg 8005 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
54adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → --𝐴 = 𝐴)
65eqeq1d 2146 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵𝐴 = -𝐵))
73, 6bitr3d 189 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
8 eqcom 2139 . 2 (𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴)
97, 8syl6bb 195 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  cc 7611  -cneg 7927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-setind 4447  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-sub 7928  df-neg 7929
This theorem is referenced by:  negcon2  8008  negcon1i  8037  negcon1d  8060  elznn0  9062
  Copyright terms: Public domain W3C validator