Theorem negcon1 8273

Description: Negative contraposition law. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
negcon1	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))

Proof of Theorem negcon1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negcl 8221	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2		neg11 8272	. . . 4 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
3	1, 2	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐴 = 𝐵))
4		negneg 8271	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → --𝐴 = 𝐴)
6	5	eqeq1d 2202	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (--𝐴 = -𝐵 ↔ 𝐴 = -𝐵))
7	3, 6	bitr3d 190	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ 𝐴 = -𝐵))
8		eqcom 2195	. 2 ⊢ (𝐴 = -𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴)
9	7, 8	bitrdi 196	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ℂcc 7872  -cneg 8193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-setind 4570  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-sub 8194  df-neg 8195

This theorem is referenced by:  negcon2  8274  negcon1i  8303  negcon1d  8326  elznn0  9335  qsqeqor  10724