Theorem nnaddm1cl 9519

Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaddm1cl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddm1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nncn 9129	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nncn 9129	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 8103	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		addsub 8368	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
5	3, 4	mp3an3 1360	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
6	1, 2, 5	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
7		nnm1nn0 9421	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
8		nn0nnaddcl 9411	. . 3 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
9	7, 8	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
10	6, 9	eqeltrd 2306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  1c1 8011   + caddc 8013   − cmin 8328  ℕcn 9121  ℕ₀cn0 9380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330  df-inn 9122  df-n0 9381

This theorem is referenced by: (None)