ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnaddm1cl GIF version

Theorem nnaddm1cl 9134
Description: Closure of addition of positive integers minus one. (Contributed by NM, 6-Aug-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaddm1cl ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nnaddm1cl
StepHypRef Expression
1 nncn 8747 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 nncn 8747 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 ax-1cn 7732 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 addsub 7992 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
53, 4mp3an3 1304 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
61, 2, 5syl2an 287 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) = ((𝐴 − 1) + 𝐵))
7 nnm1nn0 9037 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
8 nn0nnaddcl 9027 . . 3 (((𝐴 − 1) ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
97, 8sylan 281 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) + 𝐵) ∈ ℕ)
106, 9eqeltrd 2216 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 + 𝐵) − 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5777  cc 7637  1c1 7640   + caddc 7642  cmin 7952  cn 8739  0cn0 8996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-sub 7954  df-inn 8740  df-n0 8997
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator