Theorem nnltp1le 9309

Description: Positive integer ordering relation. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
nnltp1le	|- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( A + 1 ) <_ B ) )

Proof of Theorem nnltp1le

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9268	. 2 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
2		nnz 9268	. 2 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
3		zltp1le 9303	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> ( A + 1 ) <_ B ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A < B <-> ( A + 1 ) <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   1c1 7809   + caddc 7811   < clt 7988   <_ cle 7989   NNcn 8915   ZZcz 9249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1cn 7901  ax-1re 7902  ax-icn 7903  ax-addcl 7904  ax-addrcl 7905  ax-mulcl 7906  ax-addcom 7908  ax-addass 7910  ax-distr 7912  ax-i2m1 7913  ax-0lt1 7914  ax-0id 7916  ax-rnegex 7917  ax-cnre 7919  ax-pre-ltirr 7920  ax-pre-ltwlin 7921  ax-pre-lttrn 7922  ax-pre-ltadd 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fv 5223  df-riota 5828  df-ov 5875  df-oprab 5876  df-mpo 5877  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-xr 7992  df-ltxr 7993  df-le 7994  df-sub 8126  df-neg 8127  df-inn 8916  df-n0 9173  df-z 9250

This theorem is referenced by:  resqrexlemdecn  11014  ncoprmgcdne1b  12081  pockthg  12347  nninfdclemcl  12441  nninfdclemp1  12443  nninfdclemlt  12444