ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfisollem0 Unicode version

Theorem nninfisollem0 7074
Description: Lemma for nninfisol 7077. The case where  N is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfisol.x  |-  ( ph  ->  X  e. )
nninfisol.0  |-  ( ph  ->  ( X `  N
)  =  (/) )
nninfisol.n  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
nninfisollem0.0  |-  ( ph  ->  N  =  (/) )
Assertion
Ref Expression
nninfisollem0  |-  ( ph  -> DECID  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )
Distinct variable groups:    i, N    ph, i
Allowed substitution hint:    X( i)

Proof of Theorem nninfisollem0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nninfisol.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e. )
2 nninfisol.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  om )
3 ral0 3495 . . . . . 6  |-  A. j  e.  (/)  ( X `  j )  =  1o
4 nninfisollem0.0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  =  (/) )
54raleqdv 2658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. j  e.  N  ( X `  j )  =  1o  <->  A. j  e.  (/)  ( X `
 j )  =  1o ) )
63, 5mpbiri 167 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. j  e.  N  ( X `  j )  =  1o )
7 nninfisol.0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  N
)  =  (/) )
81, 2, 6, 7nnnninfeq 7072 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) ) )
98eqcomd 2163 . . 3  |-  ( ph  ->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )
109orcd 723 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X  \/  -.  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X ) )
11 df-dc 821 . 2  |-  (DECID  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X  <->  ( (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X  \/  -.  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X ) )
1210, 11sylibr 133 1  |-  ( ph  -> DECID  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  N ,  1o ,  (/) ) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 698  DECID wdc 820    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   (/)c0 3394   ifcif 3505    |-> cmpt 4026   omcom 4550   ` cfv 5171   1oc1o 6357  ℕxnninf 7064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1o 6364  df-2o 6365  df-map 6596  df-nninf 7065
This theorem is referenced by:  nninfisol  7077
  Copyright terms: Public domain W3C validator