Theorem nninfisollem0 7196

Description: Lemma for nninfisol 7199. The case where N is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollem0.0	|- ( ph -> N = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollem0	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable groups:   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   X( i)

Proof of Theorem nninfisollem0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ℕ∞ )
2		nninfisol.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. om )
3		ral0 3552	. . . . . 6 |- A. j e. (/) ( X ` j ) = 1o
4		nninfisollem0.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> N = (/) )
5	4	raleqdv 2699	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. N ( X ` j ) = 1o <-> A. j e. (/) ( X ` j ) = 1o ) )
6	3, 5	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. N ( X ` j ) = 1o )
7		nninfisol.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
8	1, 2, 6, 7	nnnninfeq 7194	. . . 4 |- ( ph -> X = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
9	8	eqcomd 2202	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
10	9	orcd 734	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
11		df-dc 836	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
12	10, 11	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   (/)c0 3450   ifcif 3561   |-> cmpt 4094   omcom 4626   ` cfv 5258   1oc1o 6467  ℕ_∞xnninf 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-nninf 7186

This theorem is referenced by:  nninfisol  7199