Theorem nninfisollem0 7106

Description: Lemma for nninfisol 7109. The case where N is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollem0.0	|- ( ph -> N = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollem0	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable groups:   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   X( i)

Proof of Theorem nninfisollem0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ℕ∞ )
2		nninfisol.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. om )
3		ral0 3516	. . . . . 6 |- A. j e. (/) ( X ` j ) = 1o
4		nninfisollem0.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> N = (/) )
5	4	raleqdv 2671	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. N ( X ` j ) = 1o <-> A. j e. (/) ( X ` j ) = 1o ) )
6	3, 5	mpbiri 167	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. N ( X ` j ) = 1o )
7		nninfisol.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
8	1, 2, 6, 7	nnnninfeq 7104	. . . 4 |- ( ph -> X = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
9	8	eqcomd 2176	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
10	9	orcd 728	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
11		df-dc 830	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
12	10, 11	sylibr 133	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   (/)c0 3414   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   omcom 4574   ` cfv 5198   1oc1o 6388  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-map 6628  df-nninf 7097

This theorem is referenced by:  nninfisol  7109