Theorem nninfisollem0 7131

Description: Lemma for nninfisol 7134. The case where N is zero. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfisol.x	|- ( ph -> X e. ℕ∞ )
nninfisol.0	|- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
nninfisol.n	|- ( ph -> N e. om )
nninfisollem0.0	|- ( ph -> N = (/) )

Assertion

Ref	Expression
nninfisollem0	|- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Distinct variable groups:   i, N   ph, i

Allowed substitution hint:   X( i)

Proof of Theorem nninfisollem0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nninfisol.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ℕ∞ )
2		nninfisol.n	. . . . 5 |- ( ph -> N e. om )
3		ral0 3526	. . . . . 6 |- A. j e. (/) ( X ` j ) = 1o
4		nninfisollem0.0	. . . . . . 7 |- ( ph -> N = (/) )
5	4	raleqdv 2679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. j e. N ( X ` j ) = 1o <-> A. j e. (/) ( X ` j ) = 1o ) )
6	3, 5	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. N ( X ` j ) = 1o )
7		nninfisol.0	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ` N ) = (/) )
8	1, 2, 6, 7	nnnninfeq 7129	. . . 4 |- ( ph -> X = ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) )
9	8	eqcomd 2183	. . 3 |- ( ph -> ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )
10	9	orcd 733	. 2 |- ( ph -> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
11		df-dc 835	. 2 |- (DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X <-> ( ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X \/ -. ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X ) )
12	10, 11	sylibr 134	1 |- ( ph -> DECID ( i e. om |-> if ( i e. N , 1o , (/) ) ) = X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   (/)c0 3424   ifcif 3536   |-> cmpt 4066   omcom 4591   ` cfv 5218   1oc1o 6413  ℕ_∞xnninf 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1o 6420  df-2o 6421  df-map 6653  df-nninf 7122

This theorem is referenced by:  nninfisol  7134