Theorem nninfsellemcl 15952

Description: Lemma for nninfself 15954. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemcl	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> if ( A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )

Distinct variable groups:   k, N   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   N( i)

Proof of Theorem nninfsellemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6528	. . 3 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> 1o e. 2o )
3		0lt2o 6527	. . 3 |- (/) e. 2o
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> (/) e. 2o )
5		nninfsellemdc 15951	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
6	2, 4, 5	ifcldcd 3608	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> if ( A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   (/)c0 3460   ifcif 3571   |-> cmpt 4105   suc csuc 4412   omcom 4638   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   1oc1o 6495   2oc2o 6496   ^m cmap 6735  ℕ_∞xnninf 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1o 6502  df-2o 6503  df-map 6737  df-nninf 7222

This theorem is referenced by:  nninfsellemsuc  15953  nninfself  15954