Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfsellemcl Unicode version

Theorem nninfsellemcl 13237
Description: Lemma for nninfself 13239. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemcl  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  N ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
Distinct variable groups:    k, N    Q, k    i, k
Allowed substitution hints:    Q( i)    N( i)

Proof of Theorem nninfsellemcl
StepHypRef Expression
1 1lt2o 6339 . . 3  |-  1o  e.  2o
21a1i 9 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  ->  1o  e.  2o )
3 0lt2o 6338 . . 3  |-  (/)  e.  2o
43a1i 9 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  ->  (/)  e.  2o )
5 nninfsellemdc 13236 . 2  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  -> DECID  A. k  e.  suc  N ( Q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
62, 4, 5ifcldcd 3507 1  |-  ( ( Q  e.  ( 2o 
^m )  /\  N  e.  om )  ->  if ( A. k  e.  suc  N ( Q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  e.  2o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   (/)c0 3363   ifcif 3474    |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1oc1o 6306   2oc2o 6307    ^m cmap 6542  ℕxnninf 7005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1o 6313  df-2o 6314  df-map 6544  df-nninf 7007
This theorem is referenced by:  nninfsellemsuc  13238  nninfself  13239
  Copyright terms: Public domain W3C validator