Theorem nninfsellemcl 14922

Description: Lemma for nninfself 14924. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemcl	|- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> if ( A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )

Distinct variable groups:   k, N   Q, k   i, k

Allowed substitution hints:   Q( i)   N( i)

Proof of Theorem nninfsellemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6446	. . 3 |- 1o e. 2o
2	1	a1i 9	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> 1o e. 2o )
3		0lt2o 6445	. . 3 |- (/) e. 2o
4	3	a1i 9	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> (/) e. 2o )
5		nninfsellemdc 14921	. 2 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> DECID A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
6	2, 4, 5	ifcldcd 3572	1 |- ( ( Q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) /\ N e. om ) -> if ( A. k e. suc N ( Q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) e. 2o )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   (/)c0 3424   ifcif 3536   |-> cmpt 4066   suc csuc 4367   omcom 4591   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   1oc1o 6413   2oc2o 6414   ^m cmap 6651  ℕ_∞xnninf 7121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1o 6420  df-2o 6421  df-map 6653  df-nninf 7122

This theorem is referenced by:  nninfsellemsuc  14923  nninfself  14924