Theorem nninfsellemcl 15655

Description: Lemma for nninfself 15657. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemcl	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6500	. . 3 ⊢ 1o ∈ 2o
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
3		0lt2o 6499	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 2o
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
5		nninfsellemdc 15654	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6	2, 4, 5	ifcldcd 3597	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∅c0 3450  ifcif 3561   ↦ cmpt 4094  suc csuc 4400  ωcom 4626  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  1_oc1o 6467  2_oc2o 6468   ↑_𝑚 cmap 6707  ℕ_∞xnninf 7185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1o 6474  df-2o 6475  df-map 6709  df-nninf 7186

This theorem is referenced by:  nninfsellemsuc  15656  nninfself  15657