Theorem nninfsellemcl 14763

Description: Lemma for nninfself 14765. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemcl	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝑁(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6443	. . 3 ⊢ 1o ∈ 2o
2	1	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
3		0lt2o 6442	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 2o
4	3	a1i 9	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
5		nninfsellemdc 14762	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
6	2, 4, 5	ifcldcd 3571	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝑁 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝑁(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∅c0 3423  ifcif 3535   ↦ cmpt 4065  suc csuc 4366  ωcom 4590  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  1_oc1o 6410  2_oc2o 6411   ↑_𝑚 cmap 6648  ℕ_∞xnninf 7118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-nninf 7119

This theorem is referenced by:  nninfsellemsuc  14764  nninfself  14765