ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntropn GIF version

Theorem ntropn 13250
Description: The interior of a subset of a topology's underlying set is open. (Contributed by NM, 11-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntropn ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)

Proof of Theorem ntropn
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 13243 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss1 3355 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽
4 uniopn 13132 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝐽) → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
53, 4mpan2 425 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
65adantr 276 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∈ 𝐽)
72, 6eqeltrd 2254 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ∈ 𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cin 3128  wss 3129  𝒫 cpw 3574   cuni 3807  cfv 5211  Topctop 13128  intcnt 13226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-top 13129  df-ntr 13229
This theorem is referenced by:  ntrss3  13256  ntrin  13257  isopn3  13258  ntridm  13259  neiint  13278  topssnei  13295  iscnp4  13351  cnntri  13357  cnptoprest  13372  dvfvalap  13783  dvfgg  13790
  Copyright terms: Public domain W3C validator