Theorem oaexg 6473

Description: Ordinal addition is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oaexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem oaexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2755	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		oafnex 6469	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) Fn V
4	2, 3	rdgexg 6414	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V)
5	1, 4	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
6	5	gen2 1461	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
7		df-oadd 6445	. . 3 ⊢ +o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦))
8	7	mpofvex 6228	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ V)
9	6, 8	mp3an1 1335	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∀wal 1362   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ↦ cmpt 4079  Oncon0 4381  suc csuc 4383  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  reccrdg 6394   +_o coa 6438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-oadd 6445

This theorem is referenced by:  omfnex  6474  oav2  6488