ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oaexg GIF version

Theorem oaexg 6312
Description: Ordinal addition is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oaexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem oaexg
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2663 . . . 4 𝑦 ∈ V
2 vex 2663 . . . . 5 𝑥 ∈ V
3 oafnex 6308 . . . . 5 (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) Fn V
42, 3rdgexg 6254 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V)
51, 4ax-mp 5 . . 3 (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
65gen2 1411 . 2 𝑥𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
7 df-oadd 6285 . . 3 +o = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦))
87mpofvex 6069 . 2 ((∀𝑥𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ V)
96, 8mp3an1 1287 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +o 𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wal 1314  wcel 1465  Vcvv 2660  cmpt 3959  Oncon0 4255  suc csuc 4257  cfv 5093  (class class class)co 5742  reccrdg 6234   +o coa 6278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-oadd 6285
This theorem is referenced by:  omfnex  6313  oav2  6327
  Copyright terms: Public domain W3C validator