Theorem oaexg 6191

Description: Ordinal addition is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oaexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem oaexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2622	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
2		vex 2622	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		oafnex 6187	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧) Fn V
4	2, 3	rdgexg 6136	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V)
5	1, 4	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
6	5	gen2 1384	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V
7		df-oadd 6167	. . 3 ⊢ +𝑜 = (𝑥 ∈ On, 𝑦 ∈ On ↦ (rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦))
8	7	mpt2fvex 5955	. 2 ⊢ ((∀𝑥∀𝑦(rec((𝑧 ∈ V ↦ suc 𝑧), 𝑥)‘𝑦) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ V)
9	6, 8	mp3an1 1260	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102  ∀wal 1287   ∈ wcel 1438  Vcvv 2619   ↦ cmpt 3891  Oncon0 4181  suc csuc 4183  ‘cfv 5002  (class class class)co 5634  reccrdg 6116   +_𝑜 coa 6160

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167

This theorem is referenced by:  omfnex  6192  oav2  6206