Theorem oei0 6605

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oei0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Proof of Theorem oei0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4483	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oeiv 6602	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
4		1on 6569	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
5		rdg0g 6534	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅) = 1o)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅) = 1o
7	3, 6	eqtrdi 2278	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799  ∅c0 3491   ↦ cmpt 4145  Oncon0 4454  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  reccrdg 6515  1_oc1o 6555   ·_o comu 6560   ↑_o coei 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-oexpi 6568

This theorem is referenced by: (None)