Theorem oei0 6568

Description: Ordinal exponentiation with zero exponent. Definition 8.30 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 31-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
oei0	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Proof of Theorem oei0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 4457	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		oeiv 6565	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
3	1, 2	mpan2 425	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅))
4		1on 6532	. . 3 ⊢ 1o ∈ On
5		rdg0g 6497	. . 3 ⊢ (1o ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅) = 1o)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 ·o 𝐴)), 1o)‘∅) = 1o
7	3, 6	eqtrdi 2256	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ↑o ∅) = 1o)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  Vcvv 2776  ∅c0 3468   ↦ cmpt 4121  Oncon0 4428  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  reccrdg 6478  1_oc1o 6518   ·_o comu 6523   ↑_o coei 6524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-omul 6530  df-oexpi 6531

This theorem is referenced by: (None)