Theorem oeicl 6465

Description: Closure law for ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeicl	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) e. On )

Proof of Theorem oeicl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oeiv 6459	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
2		1on 6426	. . . 4 |- 1o e. On
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( A e. On -> 1o e. On )
4		vex 2742	. . . . . . 7 |- y e. _V
5		omcl 6464	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( y .o A ) e. On )
6		oveq1 5884	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .o A ) = ( y .o A ) )
7		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
8	6, 7	fvmptg 5594	. . . . . . 7 |- ( ( y e. _V /\ ( y .o A ) e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
9	4, 5, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
10	9, 5	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
11	10	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
12	11	ralrimiva 2550	. . 3 |- ( A e. On -> A. y e. On ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
13	3, 12	rdgon 6389	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. On )
14	1, 13	eqeltrd 2254	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   |-> cmpt 4066   Oncon0 4365   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   reccrdg 6372   1oc1o 6412   .o comu 6417   ↑_o coei 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-oexpi 6425

This theorem is referenced by: (None)