Theorem oeicl 6487

Description: Closure law for ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeicl	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) e. On )

Proof of Theorem oeicl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oeiv 6481	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
2		1on 6448	. . . 4 |- 1o e. On
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( A e. On -> 1o e. On )
4		vex 2755	. . . . . . 7 |- y e. _V
5		omcl 6486	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( y .o A ) e. On )
6		oveq1 5903	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .o A ) = ( y .o A ) )
7		eqid 2189	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
8	6, 7	fvmptg 5613	. . . . . . 7 |- ( ( y e. _V /\ ( y .o A ) e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
9	4, 5, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
10	9, 5	eqeltrd 2266	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
11	10	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
12	11	ralrimiva 2563	. . 3 |- ( A e. On -> A. y e. On ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
13	3, 12	rdgon 6411	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. On )
14	1, 13	eqeltrd 2266	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   |-> cmpt 4079   Oncon0 4381   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   reccrdg 6394   1oc1o 6434   .o comu 6439   ↑_o coei 6440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-omul 6446  df-oexpi 6447

This theorem is referenced by: (None)