Theorem oeicl 6529

Description: Closure law for ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
oeicl	|- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) e. On )

Proof of Theorem oeicl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oeiv 6523	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) )
2		1on 6490	. . . 4 |- 1o e. On
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( A e. On -> 1o e. On )
4		vex 2766	. . . . . . 7 |- y e. _V
5		omcl 6528	. . . . . . 7 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( y .o A ) e. On )
6		oveq1 5932	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x .o A ) = ( y .o A ) )
7		eqid 2196	. . . . . . . 8 |- ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) = ( x e. _V |-> ( x .o A ) )
8	6, 7	fvmptg 5640	. . . . . . 7 |- ( ( y e. _V /\ ( y .o A ) e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
9	4, 5, 8	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) = ( y .o A ) )
10	9, 5	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ( y e. On /\ A e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
11	10	ancoms 268	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
12	11	ralrimiva 2570	. . 3 |- ( A e. On -> A. y e. On ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) ` y ) e. On )
13	3, 12	rdgon 6453	. 2 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x .o A ) ) , 1o ) ` B ) e. On )
14	1, 13	eqeltrd 2273	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A ↑o B ) e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   |-> cmpt 4095   Oncon0 4399   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   reccrdg 6436   1oc1o 6476   .o comu 6481   ↑_o coei 6482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-oexpi 6489

This theorem is referenced by: (None)