ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oeicl Unicode version

Theorem oeicl 6223
Description: Closure law for ordinal exponentiation. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
oeicl  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A𝑜  B )  e.  On )

Proof of Theorem oeicl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oeiv 6217 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A𝑜  B )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `  B ) )
2 1on 6188 . . . 4  |-  1o  e.  On
32a1i 9 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  1o  e.  On )
4 vex 2622 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
5 omcl 6222 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  .o  A
)  e.  On )
6 oveq1 5659 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .o  A )  =  ( y  .o  A ) )
7 eqid 2088 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) )  =  ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) )
86, 7fvmptg 5380 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  ( y  .o  A
)  e.  On )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) `
 y )  =  ( y  .o  A
) )
94, 5, 8sylancr 405 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) `  y )  =  ( y  .o  A ) )
109, 5eqeltrd 2164 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) `  y )  e.  On )
1110ancoms 264 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  .o  A ) ) `  y )  e.  On )
1211ralrimiva 2446 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A. y  e.  On  ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) `
 y )  e.  On )
133, 12rdgon 6151 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  .o  A ) ) ,  1o ) `
 B )  e.  On )
141, 13eqeltrd 2164 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A𝑜  B )  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   _Vcvv 2619    |-> cmpt 3899   Oncon0 4190   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   reccrdg 6134   1oc1o 6174    .o comu 6179   ↑𝑜 coei 6180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-oexpi 6187
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator