Theorem peano5uzi 9267

Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano5uz.1	|- N e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
peano5uzi	|- ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A )

Distinct variable groups:   x, k, A   k, N, x

Proof of Theorem peano5uzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano5uz.1	. 2 |- N e. ZZ
2		peano5uzti 9266	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( ( N e. A /\ A. x e. A ( x + 1 ) e. A ) -> { k e. ZZ | N <_ k } C_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   C_ wss 3102   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   1c1 7727   + caddc 7729   <_ cle 7907   ZZcz 9161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162

This theorem is referenced by:  dfuzi  9268