Theorem dfuzi 9589

Description: An expression for the upper integers that start at N that is analogous to dfnn2 9144 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuz.1	|- N e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	|- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 3945	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x ) )
2		dfuz.1	. . . 4 |- N e. ZZ
3	2	peano5uzi 9588	. . 3 |- ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x )
4	1, 3	mpgbir 1501	. 2 |- { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
5	2	zrei 9484	. . . . . 6 |- N e. RR
6	5	leidi 8664	. . . . 5 |- N <_ N
7		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( N <_ z <-> N <_ N ) )
8	7	elrab 2962	. . . . 5 |- ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } <-> ( N e. ZZ /\ N <_ N ) )
9	2, 6, 8	mpbir2an 950	. . . 4 |- N e. { z e. ZZ | N <_ z }
10		peano2uz2 9586	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. { z e. ZZ | N <_ z } ) -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
11	2, 10	mpan 424	. . . . 5 |- ( y e. { z e. ZZ | N <_ z } -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
12	11	rgen 2585	. . . 4 |- A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z }
13		zex 9487	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
14	13	rabex 4234	. . . . 5 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. _V
15		eleq2 2295	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( N e. x <-> N e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
16		eleq2 2295	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
17	16	raleqbi1dv 2742	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
18	15, 17	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) ) )
19	14, 18	elab 2950	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
20	9, 12, 19	mpbir2an 950	. . 3 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
21		intss1 3943	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z } )
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 |- |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z }
23	4, 22	eqssi 3243	1 |- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   {crab 2514   C_ wss 3200   |^|cint 3928   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   1c1 8032   + caddc 8034   <_ cle 8214   ZZcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by: (None)