Theorem dfuzi 9483

Description: An expression for the upper integers that start at N that is analogous to dfnn2 9038 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuz.1	|- N e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	|- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 3902	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x ) )
2		dfuz.1	. . . 4 |- N e. ZZ
3	2	peano5uzi 9482	. . 3 |- ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x )
4	1, 3	mpgbir 1476	. 2 |- { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
5	2	zrei 9378	. . . . . 6 |- N e. RR
6	5	leidi 8558	. . . . 5 |- N <_ N
7		breq2 4048	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( N <_ z <-> N <_ N ) )
8	7	elrab 2929	. . . . 5 |- ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } <-> ( N e. ZZ /\ N <_ N ) )
9	2, 6, 8	mpbir2an 945	. . . 4 |- N e. { z e. ZZ | N <_ z }
10		peano2uz2 9480	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. { z e. ZZ | N <_ z } ) -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
11	2, 10	mpan 424	. . . . 5 |- ( y e. { z e. ZZ | N <_ z } -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
12	11	rgen 2559	. . . 4 |- A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z }
13		zex 9381	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
14	13	rabex 4188	. . . . 5 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. _V
15		eleq2 2269	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( N e. x <-> N e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
16		eleq2 2269	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
17	16	raleqbi1dv 2714	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
18	15, 17	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) ) )
19	14, 18	elab 2917	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
20	9, 12, 19	mpbir2an 945	. . 3 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
21		intss1 3900	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z } )
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 |- |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z }
23	4, 22	eqssi 3209	1 |- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   {crab 2488   C_ wss 3166   |^|cint 3885   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   1c1 7926   + caddc 7928   <_ cle 8108   ZZcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by: (None)