ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfuzi Unicode version

Theorem dfuzi 9184
Description: An expression for the upper integers that start at  N that is analogous to dfnn2 8745 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
dfuz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
dfuzi  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Distinct variable group:    x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi
StepHypRef Expression
1 ssintab 3795 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^|
{ x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  <->  A. x ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x ) )
2 dfuz.1 . . . 4  |-  N  e.  ZZ
32peano5uzi 9183 . . 3  |-  ( ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  ->  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } 
C_  x )
41, 3mpgbir 1430 . 2  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  C_  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }
52zrei 9083 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
65leidi 8270 . . . . 5  |-  N  <_  N
7 breq2 3940 . . . . . 6  |-  ( z  =  N  ->  ( N  <_  z  <->  N  <_  N ) )
87elrab 2843 . . . . 5  |-  ( N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  <->  ( N  e.  ZZ  /\  N  <_  N ) )
92, 6, 8mpbir2an 927 . . . 4  |-  N  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
10 peano2uz2 9181 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )  -> 
( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } )
112, 10mpan 421 . . . . 5  |-  ( y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
1211rgen 2488 . . . 4  |-  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
13 zex 9086 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
1413rabex 4079 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  _V
15 eleq2 2204 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( N  e.  x  <->  N  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
16 eleq2 2204 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( y  +  1 )  e.  x  <->  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1716raleqbi1dv 2637 . . . . . 6  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  ( A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x  <->  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
1815, 17anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( x  =  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z }  ->  (
( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x )  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) ) )
1914, 18elab 2831 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  <-> 
( N  e.  {
z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  ( y  +  1 )  e. 
{ z  e.  ZZ  |  N  <_  z } ) )
209, 12, 19mpbir2an 927 . . 3  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  {
x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
21 intss1 3793 . . 3  |-  ( { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  e.  { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }  ->  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_ 
z } )
2220, 21ax-mp 5 . 2  |-  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  ( y  +  1 )  e.  x ) }  C_  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }
234, 22eqssi 3117 1  |-  { z  e.  ZZ  |  N  <_  z }  =  |^| { x  |  ( N  e.  x  /\  A. y  e.  x  (
y  +  1 )  e.  x ) }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   {crab 2421    C_ wss 3075   |^|cint 3778   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   1c1 7644    + caddc 7646    <_ cle 7824   ZZcz 9077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator