Theorem dfuzi 9580

Description: An expression for the upper integers that start at N that is analogous to dfnn2 9135 for positive integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 3-May-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
dfuz.1	|- N e. ZZ

Assertion

Ref	Expression
dfuzi	|- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Distinct variable group:   x, y, z, N

Proof of Theorem dfuzi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintab 3943	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. x ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x ) )
2		dfuz.1	. . . 4 |- N e. ZZ
3	2	peano5uzi 9579	. . 3 |- ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) -> { z e. ZZ | N <_ z } C_ x )
4	1, 3	mpgbir 1499	. 2 |- { z e. ZZ | N <_ z } C_ |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
5	2	zrei 9475	. . . . . 6 |- N e. RR
6	5	leidi 8655	. . . . 5 |- N <_ N
7		breq2 4090	. . . . . 6 |- ( z = N -> ( N <_ z <-> N <_ N ) )
8	7	elrab 2960	. . . . 5 |- ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } <-> ( N e. ZZ /\ N <_ N ) )
9	2, 6, 8	mpbir2an 948	. . . 4 |- N e. { z e. ZZ | N <_ z }
10		peano2uz2 9577	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ y e. { z e. ZZ | N <_ z } ) -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
11	2, 10	mpan 424	. . . . 5 |- ( y e. { z e. ZZ | N <_ z } -> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } )
12	11	rgen 2583	. . . 4 |- A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z }
13		zex 9478	. . . . . 6 |- ZZ e. _V
14	13	rabex 4232	. . . . 5 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. _V
15		eleq2 2293	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( N e. x <-> N e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
16		eleq2 2293	. . . . . . 7 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
17	16	raleqbi1dv 2740	. . . . . 6 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
18	15, 17	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = { z e. ZZ | N <_ z } -> ( ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) ) )
19	14, 18	elab 2948	. . . 4 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( N e. { z e. ZZ | N <_ z } /\ A. y e. { z e. ZZ | N <_ z } ( y + 1 ) e. { z e. ZZ | N <_ z } ) )
20	9, 12, 19	mpbir2an 948	. . 3 |- { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
21		intss1 3941	. . 3 |- ( { z e. ZZ | N <_ z } e. { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z } )
22	20, 21	ax-mp 5	. 2 |- |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } C_ { z e. ZZ | N <_ z }
23	4, 22	eqssi 3241	1 |- { z e. ZZ | N <_ z } = |^| { x | ( N e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cab 2215   A.wral 2508   {crab 2512   C_ wss 3198   |^|cint 3926   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   1c1 8023   + caddc 8025   <_ cle 8205   ZZcz 9469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470

This theorem is referenced by: (None)