Theorem psmetf 15048

Description: The distance function of a pseudometric as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmetf	⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Proof of Theorem psmetf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-psmet 14556	. . . . 5 ⊢ PsMet = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑣 ∈ (ℝ* ↑𝑚 (𝑥 × 𝑥)) ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑥 ((𝑦𝑣𝑦) = 0 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑤 ∈ 𝑥 (𝑦𝑣𝑧) ≤ ((𝑤𝑣𝑦) +𝑒 (𝑤𝑣𝑧)))})
2	1	mptrcl 5729	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
3		ispsmet 15046	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) ↔ (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏))))))
5	4	ibi 176	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → (𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ* ∧ ∀𝑎 ∈ 𝑋 ((𝑎𝐷𝑎) = 0 ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑋 ∀𝑐 ∈ 𝑋 (𝑎𝐷𝑏) ≤ ((𝑐𝐷𝑎) +𝑒 (𝑐𝐷𝑏)))))
6	5	simpld 112	1 ⊢ (𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  {crab 2514  Vcvv 2802   class class class wbr 4088   × cxp 4723  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326  (class class class)co 6017   ↑_𝑚 cmap 6816  0cc0 8031  ℝ^*cxr 8212   ≤ cle 8214   +_𝑒 cxad 10004  PsMetcpsmet 14548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-psmet 14556

This theorem is referenced by:  psmetcl  15049  psmetxrge0  15055  psmetres2  15056  distspace  15058