Theorem psmettri 14887

Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmettri	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem psmettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
2		simpr3 1008	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
3		simpr1 1006	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
4		simpr2 1007	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
5		psmettri2 14885	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1252	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
7		psmetsym 14886	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
9	8	oveq1d 5977	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
10	6, 9	breqtrd 4080	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   class class class wbr 4054   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   <_ cle 8138   +ecxad 9922  PsMetcpsmet 14382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-apti 8070

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-map 6755  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-xadd 9925  df-psmet 14390

This theorem is referenced by: (None)