Theorem psmettri 14998

Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric space. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
psmettri	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof of Theorem psmettri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. (PsMet ` X ) )
2		simpr3 1029	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
3		simpr1 1027	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
4		simpr2 1028	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
5		psmettri2 14996	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1273	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
7		psmetsym 14997	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
9	8	oveq1d 6015	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
10	6, 9	breqtrd 4108	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4082   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   <_ cle 8178   +ecxad 9962  PsMetcpsmet 14493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1re 8089  ax-addrcl 8092  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-apti 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-map 6795  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-xadd 9965  df-psmet 14501

This theorem is referenced by: (None)