Theorem psmetge0 15042

Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
psmetge0	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem psmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8214	. . . 4 |- 0 e. RR*
2		xaddid1 10085	. . . 4 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 +e 0 ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( 0 +e 0 ) = 0
4		psmet0 15038	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
5	4	3adant2 1040	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
6		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> D e. (PsMet ` X ) )
7		simp2 1022	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
8		simp3 1023	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
9		psmettri2 15039	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
10	6, 7, 8, 8, 9	syl13anc 1273	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
11	5, 10	eqbrtrrd 4108	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
12	3, 11	eqbrtrid 4119	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
13		psmetcl 15037	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
14		xleaddadd 10110	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A D B ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
15	1, 13, 14	sylancr 414	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4084   ` cfv 5322  (class class class)co 6011   0cc0 8020   RR*cxr 8201   <_ cle 8203   +ecxad 9993  PsMetcpsmet 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-mulrcl 8119  ax-addcom 8120  ax-mulcom 8121  ax-addass 8122  ax-mulass 8123  ax-distr 8124  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-1rid 8127  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-precex 8130  ax-cnre 8131  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136  ax-pre-mulgt0 8137

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-map 6812  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-xr 8206  df-ltxr 8207  df-le 8208  df-sub 8340  df-neg 8341  df-2 9190  df-xadd 9996  df-psmet 14544

This theorem is referenced by:  psmetxrge0  15043  psmetlecl  15045  distspace  15046  xblpnfps  15109  xblss2ps  15115