Theorem psmetge0 13402

Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
psmetge0	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem psmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 7978	. . . 4 |- 0 e. RR*
2		xaddid1 9833	. . . 4 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 +e 0 ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( 0 +e 0 ) = 0
4		psmet0 13398	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
5	4	3adant2 1016	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
6		simp1 997	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> D e. (PsMet ` X ) )
7		simp2 998	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
8		simp3 999	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
9		psmettri2 13399	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
10	6, 7, 8, 8, 9	syl13anc 1240	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
11	5, 10	eqbrtrrd 4022	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
12	3, 11	eqbrtrid 4033	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
13		psmetcl 13397	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
14		xleaddadd 9858	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A D B ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
15	1, 13, 14	sylancr 414	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   class class class wbr 3998   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   RR*cxr 7965   <_ cle 7967   +ecxad 9741  PsMetcpsmet 13050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-map 6640  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-2 8951  df-xadd 9744  df-psmet 13058

This theorem is referenced by:  psmetxrge0  13403  psmetlecl  13405  distspace  13406  xblpnfps  13469  xblss2ps  13475