Theorem psmetge0 15355

Description: The distance function of a pseudometric space is nonnegative. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Feb-2018.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Apr-2023.)

Assertion

Ref	Expression
psmetge0	|- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Proof of Theorem psmetge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8362	. . . 4 |- 0 e. RR*
2		xaddid1 10243	. . . 4 |- ( 0 e. RR* -> ( 0 +e 0 ) = 0 )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( 0 +e 0 ) = 0
4		psmet0 15351	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
5	4	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) = 0 )
6		simp1 1028	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> D e. (PsMet ` X ) )
7		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
8		simp3 1030	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
9		psmettri2 15352	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ B e. X ) ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
10	6, 7, 8, 8, 9	syl13anc 1280	. . . 4 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B D B ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
11	5, 10	eqbrtrrd 4149	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
12	3, 11	eqbrtrid 4160	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) )
13		psmetcl 15350	. . 3 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) e. RR* )
14		xleaddadd 10268	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( A D B ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
15	1, 13, 14	sylancr 418	. 2 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 0 <_ ( A D B ) <-> ( 0 +e 0 ) <_ ( ( A D B ) +e ( A D B ) ) ) )
16	12, 15	mpbird 167	1 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ A e. X /\ B e. X ) -> 0 <_ ( A D B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   RR*cxr 8349   <_ cle 8351   +ecxad 10151  PsMetcpsmet 14844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-2 9342  df-xadd 10154  df-psmet 14852

This theorem is referenced by:  psmetxrge0  15356  psmetlecl  15358  distspace  15359  xblpnfps  15422  xblss2ps  15428