Theorem f1stres 6160

Description: Mapping of a restriction of the 1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1stres	|- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Proof of Theorem f1stres

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2741	. . . . . . . 8 |- y e. _V
2		vex 2741	. . . . . . . 8 |- z e. _V
3	1, 2	op1sta 5111	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , z >. } = y
4	3	eleq1i 2243	. . . . . 6 |- ( U. dom { <. y , z >. } e. A <-> y e. A )
5	4	biimpri 133	. . . . 5 |- ( y e. A -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
7	6	rgen2 2563	. . 3 |- A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A
8		sneq 3604	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> { x } = { <. y , z >. } )
9	8	dmeqd 4830	. . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> dom { x } = dom { <. y , z >. } )
10	9	unieqd 3821	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , z >. } )
11	10	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( U. dom { x } e. A <-> U. dom { <. y , z >. } e. A ) )
12	11	ralxp 4771	. . 3 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A )
13	7, 12	mpbir 146	. 2 |- A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A
14		df-1st 6141	. . . . 5 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
15	14	reseq1i 4904	. . . 4 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) )
16		ssv 3178	. . . . 5 |- ( A X. B ) C_ _V
17		resmpt 4956	. . . . 5 |- ( ( A X. B ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
19	15, 18	eqtri 2198	. . 3 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
20	19	fmpt 5667	. 2 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A )
21	13, 20	mpbi 145	1 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   {csn 3593   <.cop 3596   U.cuni 3810   |-> cmpt 4065   X. cxp 4625   dom cdm 4627   |` cres 4629   -->wf 5213   1stc1st 6139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-fv 5225  df-1st 6141

This theorem is referenced by:  fo1stresm  6162  1stcof  6164  tx1cn  13772