ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1stres Unicode version

Theorem f1stres 6107
Description: Mapping of a restriction of the  1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
f1stres  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) ) : ( A  X.  B ) --> A

Proof of Theorem f1stres
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2715 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
2 vex 2715 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
31, 2op1sta 5067 . . . . . . 7  |-  U. dom  {
<. y ,  z >. }  =  y
43eleq1i 2223 . . . . . 6  |-  ( U. dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A  <->  y  e.  A )
54biimpri 132 . . . . 5  |-  ( y  e.  A  ->  U. dom  {
<. y ,  z >. }  e.  A )
65adantr 274 . . . 4  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  U. dom  { <. y ,  z >. }  e.  A )
76rgen2 2543 . . 3  |-  A. y  e.  A  A. z  e.  B  U. dom  { <. y ,  z >. }  e.  A
8 sneq 3571 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  { x }  =  { <. y ,  z
>. } )
98dmeqd 4788 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  dom  { x }  =  dom  { <. y ,  z >. } )
109unieqd 3783 . . . . 5  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  U. dom  { x }  =  U. dom  { <. y ,  z >. } )
1110eleq1d 2226 . . . 4  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( U. dom  { x }  e.  A  <->  U.
dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A ) )
1211ralxp 4729 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) U. dom  { x }  e.  A  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  U. dom  { <. y ,  z
>. }  e.  A )
137, 12mpbir 145 . 2  |-  A. x  e.  ( A  X.  B
) U. dom  {
x }  e.  A
14 df-1st 6088 . . . . 5  |-  1st  =  ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )
1514reseq1i 4862 . . . 4  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )
16 ssv 3150 . . . . 5  |-  ( A  X.  B )  C_  _V
17 resmpt 4914 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  _V  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( x  e.  _V  |->  U.
dom  { x } )  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } )
1915, 18eqtri 2178 . . 3  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) )  =  ( x  e.  ( A  X.  B )  |->  U.
dom  { x } )
2019fmpt 5617 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) U. dom  { x }  e.  A  <->  ( 1st  |`  ( A  X.  B ) ) : ( A  X.  B
) --> A )
2113, 20mpbi 144 1  |-  ( 1st  |`  ( A  X.  B
) ) : ( A  X.  B ) --> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712    C_ wss 3102   {csn 3560   <.cop 3563   U.cuni 3772    |-> cmpt 4025    X. cxp 4584   dom cdm 4586    |` cres 4588   -->wf 5166   1stc1st 6086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-1st 6088
This theorem is referenced by:  fo1stresm  6109  1stcof  6111  tx1cn  12680
  Copyright terms: Public domain W3C validator