Theorem f1stres 6386

Description: Mapping of a restriction of the 1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1stres	|- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Proof of Theorem f1stres

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
2		vex 2824	. . . . . . . 8 |- z e. _V
3	1, 2	op1sta 5267	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , z >. } = y
4	3	eleq1i 2304	. . . . . 6 |- ( U. dom { <. y , z >. } e. A <-> y e. A )
5	4	biimpri 133	. . . . 5 |- ( y e. A -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
7	6	rgen2 2636	. . 3 |- A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A
8		sneq 3719	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> { x } = { <. y , z >. } )
9	8	dmeqd 4981	. . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> dom { x } = dom { <. y , z >. } )
10	9	unieqd 3944	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , z >. } )
11	10	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( U. dom { x } e. A <-> U. dom { <. y , z >. } e. A ) )
12	11	ralxp 4921	. . 3 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A )
13	7, 12	mpbir 146	. 2 |- A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A
14		df-1st 6367	. . . . 5 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
15	14	reseq1i 5057	. . . 4 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) )
16		ssv 3270	. . . . 5 |- ( A X. B ) C_ _V
17		resmpt 5109	. . . . 5 |- ( ( A X. B ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
19	15, 18	eqtri 2259	. . 3 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
20	19	fmpt 5852	. 2 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A )
21	13, 20	mpbi 145	1 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Syntax hints:   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3708   <.cop 3711   U.cuni 3933   |-> cmpt 4190   X. cxp 4770   dom cdm 4772   |` cres 4774   -->wf 5371   1stc1st 6365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-1st 6367

This theorem is referenced by:  fo1stresm  6388  1stcof  6390  tx1cn  15296