Theorem f1stres 6065

Description: Mapping of a restriction of the 1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1stres	|- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Proof of Theorem f1stres

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . . . . . 8 |- y e. _V
2		vex 2692	. . . . . . . 8 |- z e. _V
3	1, 2	op1sta 5028	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , z >. } = y
4	3	eleq1i 2206	. . . . . 6 |- ( U. dom { <. y , z >. } e. A <-> y e. A )
5	4	biimpri 132	. . . . 5 |- ( y e. A -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
6	5	adantr 274	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
7	6	rgen2 2521	. . 3 |- A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A
8		sneq 3543	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> { x } = { <. y , z >. } )
9	8	dmeqd 4749	. . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> dom { x } = dom { <. y , z >. } )
10	9	unieqd 3755	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , z >. } )
11	10	eleq1d 2209	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( U. dom { x } e. A <-> U. dom { <. y , z >. } e. A ) )
12	11	ralxp 4690	. . 3 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A )
13	7, 12	mpbir 145	. 2 |- A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A
14		df-1st 6046	. . . . 5 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
15	14	reseq1i 4823	. . . 4 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) )
16		ssv 3124	. . . . 5 |- ( A X. B ) C_ _V
17		resmpt 4875	. . . . 5 |- ( ( A X. B ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
19	15, 18	eqtri 2161	. . 3 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
20	19	fmpt 5578	. 2 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A )
21	13, 20	mpbi 144	1 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   {csn 3532   <.cop 3535   U.cuni 3744   |-> cmpt 3997   X. cxp 4545   dom cdm 4547   |` cres 4549   -->wf 5127   1stc1st 6044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-1st 6046

This theorem is referenced by:  fo1stresm  6067  1stcof  6069  tx1cn  12477