Theorem f1stres 6305

Description: Mapping of a restriction of the 1st (first member of an ordered pair) function. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
f1stres	|- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Proof of Theorem f1stres

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2802	. . . . . . . 8 |- y e. _V
2		vex 2802	. . . . . . . 8 |- z e. _V
3	1, 2	op1sta 5210	. . . . . . 7 |- U. dom { <. y , z >. } = y
4	3	eleq1i 2295	. . . . . 6 |- ( U. dom { <. y , z >. } e. A <-> y e. A )
5	4	biimpri 133	. . . . 5 |- ( y e. A -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
6	5	adantr 276	. . . 4 |- ( ( y e. A /\ z e. B ) -> U. dom { <. y , z >. } e. A )
7	6	rgen2 2616	. . 3 |- A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A
8		sneq 3677	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> { x } = { <. y , z >. } )
9	8	dmeqd 4925	. . . . . 6 |- ( x = <. y , z >. -> dom { x } = dom { <. y , z >. } )
10	9	unieqd 3899	. . . . 5 |- ( x = <. y , z >. -> U. dom { x } = U. dom { <. y , z >. } )
11	10	eleq1d 2298	. . . 4 |- ( x = <. y , z >. -> ( U. dom { x } e. A <-> U. dom { <. y , z >. } e. A ) )
12	11	ralxp 4865	. . 3 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> A. y e. A A. z e. B U. dom { <. y , z >. } e. A )
13	7, 12	mpbir 146	. 2 |- A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A
14		df-1st 6286	. . . . 5 |- 1st = ( x e. _V |-> U. dom { x } )
15	14	reseq1i 5001	. . . 4 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) )
16		ssv 3246	. . . . 5 |- ( A X. B ) C_ _V
17		resmpt 5053	. . . . 5 |- ( ( A X. B ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( x e. _V |-> U. dom { x } ) |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
19	15, 18	eqtri 2250	. . 3 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) = ( x e. ( A X. B ) |-> U. dom { x } )
20	19	fmpt 5785	. 2 |- ( A. x e. ( A X. B ) U. dom { x } e. A <-> ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A )
21	13, 20	mpbi 145	1 |- ( 1st |` ( A X. B ) ) : ( A X. B ) --> A

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   C_ wss 3197   {csn 3666   <.cop 3669   U.cuni 3888   |-> cmpt 4145   X. cxp 4717   dom cdm 4719   |` cres 4721   -->wf 5314   1stc1st 6284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-1st 6286

This theorem is referenced by:  fo1stresm  6307  1stcof  6309  tx1cn  14943