Theorem dvcnp2cntop 13830

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnp.j	|- J = ( K ↾t A )
dvcnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcnp2cntop	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem dvcnp2cntop

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcnpcntop.k	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
2		dvcnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t A )
3		simpl3 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ S )
4		simpl1 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S C_ CC )
5	3, 4	sstrd 3165	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ CC )
6		simpl2 1001	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F : A --> CC )
7	1	cntoptop 13700	. . . . . . . 8 |- K e. Top
8		cnex 7926	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
9		ssexg 4139	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	4, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S e. _V )
11		resttop 13337	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ S e. _V ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
13	1	cntoptopon 13699	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 13338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 4, 14	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 13180	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3193	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ U. ( K ↾t S ) )
19		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
20	19	ntrss2 13288	. . . . . . 7 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
23		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
24		simp1 997	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> S C_ CC )
25		simp2 998	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> F : A --> CC )
26		simp3 999	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A C_ S )
27	22, 1, 23, 24, 25, 26	eldvap 13818	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y <-> ( B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) /\ y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
28	27	simprbda 383	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) )
29	21, 28	sseldd 3156	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. A )
30	6	ffvelcdmda 5647	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	6, 29	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
33	30, 32	subcld 8258	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
34		ssid 3175	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
35	34	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> CC C_ CC )
36		txtopon 13429	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	13, 13, 36	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponrestid 13186	. . . . . . 7 |- ( K tX K ) = ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) )
39	6, 5, 29	dvlemap 13816	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) e. CC )
40		ssrab2 3240	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w e. A | w # B } C_ A
41	40, 5	sstrid 3166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> { w e. A | w # B } C_ CC )
42	41	sselda 3155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. CC )
43	5, 29	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. CC )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> B e. CC )
45	42, 44	subcld 8258	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) e. CC )
46	27	simplbda 384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
47		limcresi 13802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B )
48		resmpt 4951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) )
49	40, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) )
50	49	oveq1i 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
51	47, 50	sseqtri 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
52	43	subidd 8246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) = 0 )
53	1	subcncntop 13720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- - e. ( ( K tX K ) Cn K )
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> - e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
55		cncfmptid 13750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
56	5, 34, 55	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
57		cncfmptc 13749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
58	43, 5, 35, 57	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
59	1, 54, 56, 58	cncfmpt2fcntop 13752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( z - B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
60		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( z - B ) = ( B - B ) )
61	59, 29, 60	cnmptlimc 13810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
62	52, 61	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
63	51, 62	sselid 3153	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
64	1	mulcncntop 13721	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
65	24, 25, 26	dvcl 13819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
66		0cn 7940	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
67		opelxpi 4655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
68	65, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
69	37	toponunii 13182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
70	69	cncnpi 13395	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
71	64, 68, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
72	39, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71	limccnp2cntop 13813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
73	65	mul01d 8340	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) = 0 )
74	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> F : A --> CC )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. { w e. A | w # B } )
76	40, 75	sselid 3153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. A )
77	74, 76	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
79	77, 78	subcld 8258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
80		breq1 4003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w # B <-> z # B ) )
81	80	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. { w e. A | w # B } <-> ( z e. A /\ z # B ) )
82	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { w e. A | w # B } -> z # B )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z # B )
84	42, 44, 83	subap0d 8591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) # 0 )
85	79, 45, 84	divcanap1d 8737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
86	85	mpteq2dva 4090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
87	86	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
88	72, 73, 87	3eltr3d 2260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
89	33	fmpttd 5667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) : A --> CC )
90	89, 5	limcdifap 13798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) )
91		resmpt 4951	. . . . . . . . . . 11 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
92	40, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
93	92	oveq1i 5879	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B )
94	90, 93	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
95	88, 94	eleqtrrd 2257	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
96		cncfmptc 13749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
97	31, 5, 35, 96	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
98		eqidd 2178	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( F ` B ) = ( F ` B ) )
99	97, 29, 98	cnmptlimc 13810	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( ( z e. A |-> ( F ` B ) ) lim CC B ) )
100	1	addcncntop 13719	. . . . . . . 8 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
101		opelxpi 4655	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
102	66, 31, 101	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
103	69	cncnpi 13395	. . . . . . . 8 |- ( ( + e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
104	100, 102, 103	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
105	33, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104	limccnp2cntop 13813	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) e. ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
106	31	addid2d 8097	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) = ( F ` B ) )
107	30, 32	npcand 8262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) = ( F ` z ) )
108	107	mpteq2dva 4090	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
109	6	feqmptd 5565	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
110	108, 109	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = F )
111	110	oveq1d 5884	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
112	105, 106, 111	3eltr3d 2260	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
113	1, 2, 5, 6, 29, 112	cnplimclemr 13805	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
114	113	ex 115	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
115	114	exlimdv 1819	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( E. y B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
116		eldmg 4818	. . 3 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> ( B e. dom ( S _D F ) <-> E. y B ( S _D F ) y ) )
117	116	ibi 176	. 2 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> E. y B ( S _D F ) y )
118	115, 117	impel 280	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   <.cop 3594   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   X. cxp 4621   dom cdm 4623   |` cres 4625   o. ccom 4627   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   + caddc 7805   x. cmul 7807   - cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618   abscabs 10990   ↾_t crest 12636   MetOpencmopn 13152   Topctop 13162  TopOnctopon 13175   intcnt 13260   Cn ccn 13352   CnP ccnp 13353   tX ctx 13419   -cn->ccncf 13724   lim CC climc 13790   _D cdv 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-addf 7924  ax-mulf 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793

This theorem is referenced by:  dvcn  13831  dvmulxxbr  13833  dvcoapbr  13838