Theorem dvcnp2cntop 14166

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnp.j	|- J = ( K ↾t A )
dvcnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcnp2cntop	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem dvcnp2cntop

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcnpcntop.k	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
2		dvcnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t A )
3		simpl3 1002	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ S )
4		simpl1 1000	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S C_ CC )
5	3, 4	sstrd 3166	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ CC )
6		simpl2 1001	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F : A --> CC )
7	1	cntoptop 14036	. . . . . . . 8 |- K e. Top
8		cnex 7935	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
9		ssexg 4143	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	4, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S e. _V )
11		resttop 13673	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ S e. _V ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
13	1	cntoptopon 14035	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 13674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 4, 14	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 13518	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3194	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ U. ( K ↾t S ) )
19		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
20	19	ntrss2 13624	. . . . . . 7 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
23		eqid 2177	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
24		simp1 997	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> S C_ CC )
25		simp2 998	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> F : A --> CC )
26		simp3 999	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A C_ S )
27	22, 1, 23, 24, 25, 26	eldvap 14154	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y <-> ( B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) /\ y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
28	27	simprbda 383	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) )
29	21, 28	sseldd 3157	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. A )
30	6	ffvelcdmda 5652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	6, 29	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
33	30, 32	subcld 8268	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
34		ssid 3176	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
35	34	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> CC C_ CC )
36		txtopon 13765	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	13, 13, 36	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponrestid 13524	. . . . . . 7 |- ( K tX K ) = ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) )
39	6, 5, 29	dvlemap 14152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) e. CC )
40		ssrab2 3241	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w e. A | w # B } C_ A
41	40, 5	sstrid 3167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> { w e. A | w # B } C_ CC )
42	41	sselda 3156	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. CC )
43	5, 29	sseldd 3157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. CC )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> B e. CC )
45	42, 44	subcld 8268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) e. CC )
46	27	simplbda 384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
47		limcresi 14138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B )
48		resmpt 4956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) )
49	40, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) )
50	49	oveq1i 5885	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
51	47, 50	sseqtri 3190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
52	43	subidd 8256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) = 0 )
53	1	subcncntop 14056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- - e. ( ( K tX K ) Cn K )
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> - e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
55		cncfmptid 14086	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
56	5, 34, 55	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
57		cncfmptc 14085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
58	43, 5, 35, 57	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
59	1, 54, 56, 58	cncfmpt2fcntop 14088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( z - B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
60		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( z - B ) = ( B - B ) )
61	59, 29, 60	cnmptlimc 14146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
62	52, 61	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
63	51, 62	sselid 3154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
64	1	mulcncntop 14057	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
65	24, 25, 26	dvcl 14155	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
66		0cn 7949	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
67		opelxpi 4659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
68	65, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
69	37	toponunii 13520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
70	69	cncnpi 13731	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
71	64, 68, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
72	39, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71	limccnp2cntop 14149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
73	65	mul01d 8350	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) = 0 )
74	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> F : A --> CC )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. { w e. A | w # B } )
76	40, 75	sselid 3154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. A )
77	74, 76	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
79	77, 78	subcld 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
80		breq1 4007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w # B <-> z # B ) )
81	80	elrab 2894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. { w e. A | w # B } <-> ( z e. A /\ z # B ) )
82	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { w e. A | w # B } -> z # B )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z # B )
84	42, 44, 83	subap0d 8601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) # 0 )
85	79, 45, 84	divcanap1d 8748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
86	85	mpteq2dva 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
87	86	oveq1d 5890	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
88	72, 73, 87	3eltr3d 2260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
89	33	fmpttd 5672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) : A --> CC )
90	89, 5	limcdifap 14134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) )
91		resmpt 4956	. . . . . . . . . . 11 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
92	40, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
93	92	oveq1i 5885	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B )
94	90, 93	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
95	88, 94	eleqtrrd 2257	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
96		cncfmptc 14085	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
97	31, 5, 35, 96	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
98		eqidd 2178	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( F ` B ) = ( F ` B ) )
99	97, 29, 98	cnmptlimc 14146	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( ( z e. A |-> ( F ` B ) ) lim CC B ) )
100	1	addcncntop 14055	. . . . . . . 8 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
101		opelxpi 4659	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
102	66, 31, 101	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
103	69	cncnpi 13731	. . . . . . . 8 |- ( ( + e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
104	100, 102, 103	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
105	33, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104	limccnp2cntop 14149	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) e. ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
106	31	addid2d 8107	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) = ( F ` B ) )
107	30, 32	npcand 8272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) = ( F ` z ) )
108	107	mpteq2dva 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
109	6	feqmptd 5570	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
110	108, 109	eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = F )
111	110	oveq1d 5890	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
112	105, 106, 111	3eltr3d 2260	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
113	1, 2, 5, 6, 29, 112	cnplimclemr 14141	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
114	113	ex 115	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
115	114	exlimdv 1819	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( E. y B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
116		eldmg 4823	. . 3 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> ( B e. dom ( S _D F ) <-> E. y B ( S _D F ) y ) )
117	116	ibi 176	. 2 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> E. y B ( S _D F ) y )
118	115, 117	impel 280	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   <.cop 3596   U.cuni 3810   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   X. cxp 4625   dom cdm 4627   |` cres 4629   o. ccom 4631   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   CCcc 7809   0cc0 7811   + caddc 7814   x. cmul 7816   - cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629   abscabs 11006   ↾_t crest 12688   MetOpencmopn 13448   Topctop 13500  TopOnctopon 13513   intcnt 13596   Cn ccn 13688   CnP ccnp 13689   tX ctx 13755   -cn->ccncf 14060   lim CC climc 14126   _D cdv 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129

This theorem is referenced by:  dvcn  14167  dvmulxxbr  14169  dvcoapbr  14174