Theorem dvcnp2cntop 15286

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnp.j	|- J = ( K ↾t A )
dvcnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcnp2cntop	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem dvcnp2cntop

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcnpcntop.k	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
2		dvcnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t A )
3		simpl3 1005	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ S )
4		simpl1 1003	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S C_ CC )
5	3, 4	sstrd 3211	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ CC )
6		simpl2 1004	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F : A --> CC )
7	1	cntoptop 15120	. . . . . . . 8 |- K e. Top
8		cnex 8084	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
9		ssexg 4199	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	4, 8, 9	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S e. _V )
11		resttop 14757	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ S e. _V ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
13	1	cntoptopon 15119	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 14758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 4, 14	sylancr 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 14602	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3239	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ U. ( K ↾t S ) )
19		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
20	19	ntrss2 14708	. . . . . . 7 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
23		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
24		simp1 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> S C_ CC )
25		simp2 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> F : A --> CC )
26		simp3 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A C_ S )
27	22, 1, 23, 24, 25, 26	eldvap 15269	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y <-> ( B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) /\ y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
28	27	simprbda 383	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) )
29	21, 28	sseldd 3202	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. A )
30	6	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	6, 29	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
33	30, 32	subcld 8418	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
34		ssid 3221	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
35	34	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> CC C_ CC )
36		txtopon 14849	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	13, 13, 36	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponrestid 14608	. . . . . . 7 |- ( K tX K ) = ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) )
39	6, 5, 29	dvlemap 15267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) e. CC )
40		ssrab2 3286	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w e. A | w # B } C_ A
41	40, 5	sstrid 3212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> { w e. A | w # B } C_ CC )
42	41	sselda 3201	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. CC )
43	5, 29	sseldd 3202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. CC )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> B e. CC )
45	42, 44	subcld 8418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) e. CC )
46	27	simplbda 384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
47		limcresi 15253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B )
48		resmpt 5026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) )
49	40, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) )
50	49	oveq1i 5977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
51	47, 50	sseqtri 3235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
52	43	subidd 8406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) = 0 )
53	1	subcncntop 15150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- - e. ( ( K tX K ) Cn K )
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> - e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
55		cncfmptid 15184	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
56	5, 34, 55	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
57		cncfmptc 15183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
58	43, 5, 35, 57	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
59	1, 54, 56, 58	cncfmpt2fcntop 15186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( z - B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
60		oveq1 5974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( z - B ) = ( B - B ) )
61	59, 29, 60	cnmptlimc 15261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
62	52, 61	eqeltrrd 2285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
63	51, 62	sselid 3199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
64	1	mulcncntop 15151	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
65	24, 25, 26	dvcl 15270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
66		0cn 8099	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
67		opelxpi 4725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
68	65, 66, 67	sylancl 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
69	37	toponunii 14604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
70	69	cncnpi 14815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
71	64, 68, 70	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
72	39, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71	limccnp2cntop 15264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
73	65	mul01d 8500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) = 0 )
74	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> F : A --> CC )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. { w e. A | w # B } )
76	40, 75	sselid 3199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. A )
77	74, 76	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
79	77, 78	subcld 8418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
80		breq1 4062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w # B <-> z # B ) )
81	80	elrab 2936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. { w e. A | w # B } <-> ( z e. A /\ z # B ) )
82	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { w e. A | w # B } -> z # B )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z # B )
84	42, 44, 83	subap0d 8752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) # 0 )
85	79, 45, 84	divcanap1d 8899	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
86	85	mpteq2dva 4150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
87	86	oveq1d 5982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
88	72, 73, 87	3eltr3d 2290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
89	33	fmpttd 5758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) : A --> CC )
90	89, 5	limcdifap 15249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) )
91		resmpt 5026	. . . . . . . . . . 11 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
92	40, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
93	92	oveq1i 5977	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B )
94	90, 93	eqtrdi 2256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
95	88, 94	eleqtrrd 2287	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
96		cncfmptc 15183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
97	31, 5, 35, 96	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
98		eqidd 2208	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( F ` B ) = ( F ` B ) )
99	97, 29, 98	cnmptlimc 15261	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( ( z e. A |-> ( F ` B ) ) lim CC B ) )
100	1	addcncntop 15149	. . . . . . . 8 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
101		opelxpi 4725	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
102	66, 31, 101	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
103	69	cncnpi 14815	. . . . . . . 8 |- ( ( + e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
104	100, 102, 103	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
105	33, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104	limccnp2cntop 15264	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) e. ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
106	31	addlidd 8257	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) = ( F ` B ) )
107	30, 32	npcand 8422	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) = ( F ` z ) )
108	107	mpteq2dva 4150	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
109	6	feqmptd 5655	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
110	108, 109	eqtr4d 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = F )
111	110	oveq1d 5982	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
112	105, 106, 111	3eltr3d 2290	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
113	1, 2, 5, 6, 29, 112	cnplimclemr 15256	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
114	113	ex 115	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
115	114	exlimdv 1843	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( E. y B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
116		eldmg 4892	. . 3 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> ( B e. dom ( S _D F ) <-> E. y B ( S _D F ) y ) )
117	116	ibi 176	. 2 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> E. y B ( S _D F ) y )
118	115, 117	impel 280	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   <.cop 3646   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   |-> cmpt 4121   X. cxp 4691   dom cdm 4693   |` cres 4695   o. ccom 4697   -->wf 5286   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   x. cmul 7965   - cmin 8278   # cap 8689   / cdiv 8780   abscabs 11423   ↾_t crest 13186   MetOpencmopn 14418   Topctop 14584  TopOnctopon 14597   intcnt 14680   Cn ccn 14772   CnP ccnp 14773   tX ctx 14839   -cn->ccncf 15157   lim CC climc 15241   _D cdv 15242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-addf 8082  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-map 6760  df-pm 6761  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840  df-cncf 15158  df-limced 15243  df-dvap 15244

This theorem is referenced by:  dvcn  15287  dvmulxxbr  15289  dvcoapbr  15294