Theorem dvcnp2cntop 15800

Description: A function is continuous at each point for which it is differentiable. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcnp.j	|- J = ( K ↾t A )
dvcnpcntop.k	|- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )

Assertion

Ref	Expression
dvcnp2cntop	|- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

Proof of Theorem dvcnp2cntop

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcnpcntop.k	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
2		dvcnp.j	. . . . 5 |- J = ( K ↾t A )
3		simpl3 1033	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ S )
4		simpl1 1031	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S C_ CC )
5	3, 4	sstrd 3258	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ CC )
6		simpl2 1032	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F : A --> CC )
7	1	cntoptop 15634	. . . . . . . 8 |- K e. Top
8		cnex 8303	. . . . . . . . 9 |- CC e. _V
9		ssexg 4272	. . . . . . . . 9 |- ( ( S C_ CC /\ CC e. _V ) -> S e. _V )
10	4, 8, 9	sylancl 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S e. _V )
11		resttop 15271	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. Top /\ S e. _V ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
12	7, 10, 11	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. Top )
13	1	cntoptopon 15633	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
14		resttopon 15272	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ S C_ CC ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
15	13, 4, 14	sylancr 418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) )
16		toponuni 15116	. . . . . . . . 9 |- ( ( K ↾t S ) e. (TopOn ` S ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> S = U. ( K ↾t S ) )
18	3, 17	sseqtrd 3286	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> A C_ U. ( K ↾t S ) )
19		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- U. ( K ↾t S ) = U. ( K ↾t S )
20	19	ntrss2 15222	. . . . . . 7 |- ( ( ( K ↾t S ) e. Top /\ A C_ U. ( K ↾t S ) ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
21	12, 18, 20	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) C_ A )
22		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( K ↾t S ) = ( K ↾t S )
23		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) )
24		simp1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> S C_ CC )
25		simp2 1029	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> F : A --> CC )
26		simp3 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> A C_ S )
27	22, 1, 23, 24, 25, 26	eldvap 15783	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y <-> ( B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) /\ y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) ) ) )
28	27	simprbda 383	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. ( ( int ` ( K ↾t S ) ) ` A ) )
29	21, 28	sseldd 3249	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. A )
30	6	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
31	6, 29	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. CC )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( F ` B ) e. CC )
33	30, 32	subcld 8637	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
34		ssid 3268	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
35	34	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> CC C_ CC )
36		txtopon 15363	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. (TopOn ` CC ) /\ K e. (TopOn ` CC ) ) -> ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) ) )
37	13, 13, 36	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- ( K tX K ) e. (TopOn ` ( CC X. CC ) )
38	37	toponrestid 15122	. . . . . . 7 |- ( K tX K ) = ( ( K tX K ) ↾t ( CC X. CC ) )
39	6, 5, 29	dvlemap 15781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) e. CC )
40		ssrab2 3333	. . . . . . . . . . . . 13 |- { w e. A | w # B } C_ A
41	40, 5	sstrid 3259	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> { w e. A | w # B } C_ CC )
42	41	sselda 3248	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. CC )
43	5, 29	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> B e. CC )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> B e. CC )
45	42, 44	subcld 8637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) e. CC )
46	27	simplbda 384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
47		limcresi 15767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B )
48		resmpt 5111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) )
49	40, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) )
50	49	oveq1i 6095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
51	47, 50	sseqtri 3282	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) C_ ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B )
52	43	subidd 8625	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) = 0 )
53	1	subcncntop 15664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- - e. ( ( K tX K ) Cn K )
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> - e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
55		cncfmptid 15698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
56	5, 34, 55	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> z ) e. ( A -cn-> CC ) )
57		cncfmptc 15697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
58	43, 5, 35, 57	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> B ) e. ( A -cn-> CC ) )
59	1, 54, 56, 58	cncfmpt2fcntop 15700	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( z - B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
60		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = B -> ( z - B ) = ( B - B ) )
61	59, 29, 60	cnmptlimc 15775	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( B - B ) e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
62	52, 61	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
63	51, 62	sselid 3246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( z - B ) ) lim CC B ) )
64	1	mulcncntop 15665	. . . . . . . . . . 11 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
65	24, 25, 26	dvcl 15784	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> y e. CC )
66		0cn 8318	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
67		opelxpi 4806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ 0 e. CC ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
68	65, 66, 67	sylancl 417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) )
69	37	toponunii 15118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC X. CC ) = U. ( K tX K )
70	69	cncnpi 15329	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. y , 0 >. e. ( CC X. CC ) ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
71	64, 68, 70	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> x. e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. y , 0 >. ) )
72	39, 45, 35, 35, 1, 38, 46, 63, 71	limccnp2cntop 15778	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) )
73	65	mul01d 8720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( y x. 0 ) = 0 )
74	6	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> F : A --> CC )
75		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. { w e. A | w # B } )
76	40, 75	sselid 3246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z e. A )
77	74, 76	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` z ) e. CC )
78	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( F ` B ) e. CC )
79	77, 78	subcld 8637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) e. CC )
80		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = z -> ( w # B <-> z # B ) )
81	80	elrab 2982	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. { w e. A | w # B } <-> ( z e. A /\ z # B ) )
82	81	simprbi 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. { w e. A | w # B } -> z # B )
83	82	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> z # B )
84	42, 44, 83	subap0d 8972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( z - B ) # 0 )
85	79, 45, 84	divcanap1d 9121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. { w e. A | w # B } ) -> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) = ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
86	85	mpteq2dva 4221	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
87	86	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) / ( z - B ) ) x. ( z - B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
88	72, 73, 87	3eltr3d 2321	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
89	33	fmpttd 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) : A --> CC )
90	89, 5	limcdifap 15763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) )
91		resmpt 5111	. . . . . . . . . . 11 |- ( { w e. A | w # B } C_ A -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) )
92	40, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) = ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) )
93	92	oveq1i 6095	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) |` { w e. A | w # B } ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B )
94	90, 93	eqtrdi 2287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( ( z e. { w e. A | w # B } |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
95	88, 94	eleqtrrd 2318	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> 0 e. ( ( z e. A |-> ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
96		cncfmptc 15697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` B ) e. CC /\ A C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
97	31, 5, 35, 96	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( F ` B ) ) e. ( A -cn-> CC ) )
98		eqidd 2239	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( F ` B ) = ( F ` B ) )
99	97, 29, 98	cnmptlimc 15775	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( ( z e. A |-> ( F ` B ) ) lim CC B ) )
100	1	addcncntop 15663	. . . . . . . 8 |- + e. ( ( K tX K ) Cn K )
101		opelxpi 4806	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. CC /\ ( F ` B ) e. CC ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
102	66, 31, 101	sylancr 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) )
103	69	cncnpi 15329	. . . . . . . 8 |- ( ( + e. ( ( K tX K ) Cn K ) /\ <. 0 , ( F ` B ) >. e. ( CC X. CC ) ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
104	100, 102, 103	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> + e. ( ( ( K tX K ) CnP K ) ` <. 0 , ( F ` B ) >. ) )
105	33, 32, 35, 35, 1, 38, 95, 99, 104	limccnp2cntop 15778	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) e. ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) )
106	31	addlidd 8476	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( 0 + ( F ` B ) ) = ( F ` B ) )
107	30, 32	npcand 8641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) /\ z e. A ) -> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) = ( F ` z ) )
108	107	mpteq2dva 4221	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
109	6	feqmptd 5756	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F = ( z e. A |-> ( F ` z ) ) )
110	108, 109	eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) = F )
111	110	oveq1d 6100	. . . . . 6 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( ( z e. A |-> ( ( ( F ` z ) - ( F ` B ) ) + ( F ` B ) ) ) lim CC B ) = ( F lim CC B ) )
112	105, 106, 111	3eltr3d 2321	. . . . 5 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> ( F ` B ) e. ( F lim CC B ) )
113	1, 2, 5, 6, 29, 112	cnplimclemr 15770	. . . 4 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B ( S _D F ) y ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )
114	113	ex 115	. . 3 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
115	114	exlimdv 1872	. 2 |- ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) -> ( E. y B ( S _D F ) y -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) ) )
116		eldmg 4976	. . 3 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> ( B e. dom ( S _D F ) <-> E. y B ( S _D F ) y ) )
117	116	ibi 176	. 2 |- ( B e. dom ( S _D F ) -> E. y B ( S _D F ) y )
118	115, 117	impel 280	1 |- ( ( ( S C_ CC /\ F : A --> CC /\ A C_ S ) /\ B e. dom ( S _D F ) ) -> F e. ( ( J CnP K ) ` B ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   <.cop 3712   U.cuni 3935   class class class wbr 4130   |-> cmpt 4192   X. cxp 4772   dom cdm 4774   |` cres 4776   o. ccom 4778   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   x. cmul 8184   - cmin 8497   # cap 8909   / cdiv 9002   abscabs 11763   ↾_t crest 13593   MetOpencmopn 14878   Topctop 15098  TopOnctopon 15111   intcnt 15194   Cn ccn 15286   CnP ccnp 15287   tX ctx 15353   -cn->ccncf 15671   lim CC climc 15755   _D cdv 15756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758

This theorem is used by:  dvcn  15801  dvmulxxbr  15803  dvcoapbr  15808