Theorem ressval2 12684

Description: Value of nontrivial structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	|- R = ( W ↾s A )
ressbas.b	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressval2	|- ( ( -. B C_ A /\ W e. X /\ A e. Y ) -> R = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) )

Proof of Theorem ressval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressvalsets 12682	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
2		ressbas.r	. . 3 |- R = ( W ↾s A )
3		ressbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` W )
4	3	ineq2i 3357	. . . . 5 |- ( A i^i B ) = ( A i^i ( Base ` W ) )
5	4	opeq2i 3808	. . . 4 |- <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. = <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >.
6	5	oveq2i 5929	. . 3 |- ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. )
7	1, 2, 6	3eqtr4g 2251	. 2 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> R = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) )
8	7	3adant1 1017	1 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. X /\ A e. Y ) -> R = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   i^i cin 3152   C_ wss 3153   <.cop 3621   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   ndxcnx 12615   sSet csts 12616   Basecbs 12618   ↾_s cress 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626

This theorem is referenced by: (None)