Theorem ressval2 12968

Description: Value of nontrivial structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	|- R = ( W ↾s A )
ressbas.b	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressval2	|- ( ( -. B C_ A /\ W e. X /\ A e. Y ) -> R = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) )

Proof of Theorem ressval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressvalsets 12966	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
2		ressbas.r	. . 3 |- R = ( W ↾s A )
3		ressbas.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` W )
4	3	ineq2i 3375	. . . . 5 |- ( A i^i B ) = ( A i^i ( Base ` W ) )
5	4	opeq2i 3828	. . . 4 |- <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. = <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >.
6	5	oveq2i 5967	. . 3 |- ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. )
7	1, 2, 6	3eqtr4g 2264	. 2 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> R = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) )
8	7	3adant1 1018	1 |- ( ( -. B C_ A /\ W e. X /\ A e. Y ) -> R = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i B ) >. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   i^i cin 3169   C_ wss 3170   <.cop 3640   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   ndxcnx 12899   sSet csts 12900   Basecbs 12902   ↾_s cress 12903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1re 8034  ax-addrcl 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-inn 9052  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-iress 12910

This theorem is referenced by: (None)