Theorem restdis 14911

Description: A subspace of a discrete topology is discrete. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restdis	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Proof of Theorem restdis

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distop 14812	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
3		elpw2g 4246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
4	3	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴)
5		restopn2 14910	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝐵 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
7		velpw 3659	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵)
8		sstr 3235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
9	8	expcom 116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ 𝐴))
11		velpw 3659	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)
12	10, 11	imbitrrdi 162	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴))
13	12	pm4.71rd 394	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
14	7, 13	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
15	6, 14	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐵))
16	15	eqrdv 2229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝒫 𝐴 ↾t 𝐵) = 𝒫 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  (class class class)co 6018   ↾_t crest 13324  Topctop 14724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-rest 13326  df-topgen 13345  df-top 14725  df-topon 14738  df-bases 14770

This theorem is referenced by: (None)