Theorem ringacl 14062

Description: Closure of the addition operation of a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringacl	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Proof of Theorem ringacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 14033	. 2 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
2		ringacl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
3		ringacl.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
4	2, 3	grpcl 13609	. 2 |- ( ( R e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
5	1, 4	syl3an1 1306	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   Grpcgrp 13601   Ringcrg 14028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-ring 14030

This theorem is referenced by:  ringcom  14063  ringlghm  14093  ringrghm  14094  imasring  14096  qusring2  14098  opprring  14111  mulgass3  14117  lmodprop2d  14381