Theorem ringlghm 13867

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlghm.b	|- B = ( Base ` R )
ringlghm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringlghm	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, .x.   x, X

Proof of Theorem ringlghm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2206	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
3		ringgrp 13807	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Grp )
5		ringlghm.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
6	1, 5	ringcl 13819	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7	6	3expa 1206	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8	7	fmpttd 5742	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
9		3anass 985	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( X e. B /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) )
10	1, 2, 5	ringdi 13824	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
11	9, 10	sylan2br 288	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
12	11	anassrs 400	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
13		eqid 2206	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
14		oveq2 5959	. . . 4 |- ( x = ( y ( +g ` R ) z ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) )
15	1, 2	ringacl 13836	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
16	15	3expb 1207	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
17	16	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
18		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> R e. Ring )
19		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> X e. B )
20	1, 5	ringcl 13819	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ ( y ( +g ` R ) z ) e. B ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) e. B )
21	18, 19, 17, 20	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) e. B )
22	13, 14, 17, 21	fvmptd3 5680	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) )
23		oveq2 5959	. . . . 5 |- ( x = y -> ( X .x. x ) = ( X .x. y ) )
24		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
25	1, 5	ringcl 13819	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ y e. B ) -> ( X .x. y ) e. B )
26	18, 19, 24, 25	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. y ) e. B )
27	13, 23, 24, 26	fvmptd3 5680	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) = ( X .x. y ) )
28		oveq2 5959	. . . . 5 |- ( x = z -> ( X .x. x ) = ( X .x. z ) )
29		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
30	1, 5	ringcl 13819	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ z e. B ) -> ( X .x. z ) e. B )
31	18, 19, 29, 30	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. z ) e. B )
32	13, 28, 29, 31	fvmptd3 5680	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) = ( X .x. z ) )
33	27, 32	oveq12d 5969	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
34	12, 22, 33	3eqtr4d 2249	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) ) )
35	1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 34	isghmd 13632	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   |-> cmpt 4109   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   Basecbs 12876   +g cplusg 12953   .rcmulr 12954   Grpcgrp 13376   GrpHom cghm 13620   Ringcrg 13802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-ltxr 8119  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-plusg 12966  df-mulr 12967  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-ghm 13621  df-mgp 13727  df-ring 13804

This theorem is referenced by: (None)