Theorem ringlghm 13557

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlghm.b	|- B = ( Base ` R )
ringlghm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringlghm	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, .x.   x, X

Proof of Theorem ringlghm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2193	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
3		ringgrp 13497	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Grp )
5		ringlghm.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
6	1, 5	ringcl 13509	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
7	6	3expa 1205	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( X .x. x ) e. B )
8	7	fmpttd 5713	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) : B --> B )
9		3anass 984	. . . . 5 |- ( ( X e. B /\ y e. B /\ z e. B ) <-> ( X e. B /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) )
10	1, 2, 5	ringdi 13514	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
11	9, 10	sylan2br 288	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
12	11	anassrs 400	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
13		eqid 2193	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) = ( x e. B |-> ( X .x. x ) )
14		oveq2 5926	. . . 4 |- ( x = ( y ( +g ` R ) z ) -> ( X .x. x ) = ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) )
15	1, 2	ringacl 13526	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
16	15	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
17	16	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
18		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> R e. Ring )
19		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> X e. B )
20	1, 5	ringcl 13509	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ ( y ( +g ` R ) z ) e. B ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) e. B )
21	18, 19, 17, 20	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) e. B )
22	13, 14, 17, 21	fvmptd3 5651	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( X .x. ( y ( +g ` R ) z ) ) )
23		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( x = y -> ( X .x. x ) = ( X .x. y ) )
24		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
25	1, 5	ringcl 13509	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ y e. B ) -> ( X .x. y ) e. B )
26	18, 19, 24, 25	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. y ) e. B )
27	13, 23, 24, 26	fvmptd3 5651	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) = ( X .x. y ) )
28		oveq2 5926	. . . . 5 |- ( x = z -> ( X .x. x ) = ( X .x. z ) )
29		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
30	1, 5	ringcl 13509	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ z e. B ) -> ( X .x. z ) e. B )
31	18, 19, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( X .x. z ) e. B )
32	13, 28, 29, 31	fvmptd3 5651	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) = ( X .x. z ) )
33	27, 32	oveq12d 5936	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) ) = ( ( X .x. y ) ( +g ` R ) ( X .x. z ) ) )
34	12, 22, 33	3eqtr4d 2236	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) ` z ) ) )
35	1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 34	isghmd 13322	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( X .x. x ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   |-> cmpt 4090   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696   Grpcgrp 13072   GrpHom cghm 13310   Ringcrg 13492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-grp 13075  df-ghm 13311  df-mgp 13417  df-ring 13494

This theorem is referenced by: (None)