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Theorem ringcom 13027
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringacl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
ringacl.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
Assertion
Ref Expression
ringcom  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )

Proof of Theorem ringcom
StepHypRef Expression
1 simp1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
2 ringacl.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
42, 3ringidcl 13016 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
51, 4syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( 1r `  R )  e.  B )
6 ringacl.p . . . . . . . . . 10  |-  .+  =  ( +g  `  R )
72, 6ringacl 13026 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( 1r
`  R )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B )
81, 5, 5, 7syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B )
9 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 simp3 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
11 eqid 2177 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
122, 6, 11ringdi 13014 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  R
)  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y ) ) )
131, 8, 9, 10, 12syl13anc 1240 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y ) ) )
142, 6ringacl 13026 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  e.  B )
152, 6, 11ringdir 13015 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  ( X  .+  Y )  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( X  .+  Y ) ) ) )
161, 5, 5, 14, 15syl13anc 1240 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
1713, 16eqtr3d 2212 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) 
.+  ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y ) )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) ( X  .+  Y
) )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) ) ) )
182, 6, 11ringdir 13015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  X  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) X )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) X ) ) )
191, 5, 5, 9, 18syl13anc 1240 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) X )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X ) ) )
202, 11, 3ringlidm 13019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X )  =  X )
211, 9, 20syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) X )  =  X )
2221, 21oveq12d 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) X )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) X ) )  =  ( X  .+  X ) )
2319, 22eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) X )  =  ( X  .+  X
) )
242, 6, 11ringdir 13015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  B  /\  ( 1r `  R )  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y )  =  ( ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) Y )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) Y ) ) )
251, 5, 5, 10, 24syl13anc 1240 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y )  =  ( ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) Y )  .+  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y ) ) )
262, 11, 3ringlidm 13019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y )  =  Y )
271, 10, 26syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) Y )  =  Y )
2827, 27oveq12d 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) Y )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) Y ) )  =  ( Y  .+  Y ) )
2925, 28eqtrd 2210 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R
) Y )  =  ( Y  .+  Y
) )
3023, 29oveq12d 5886 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( 1r
`  R )  .+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) X ) 
.+  ( ( ( 1r `  R ) 
.+  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) Y ) )  =  ( ( X  .+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
312, 11, 3ringlidm 13019 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
321, 14, 31syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) ( X 
.+  Y ) )  =  ( X  .+  Y ) )
3332, 32oveq12d 5886 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) ( X  .+  Y ) )  .+  ( ( 1r `  R ) ( .r `  R
) ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
3417, 30, 333eqtr3d 2218 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  ( Y  .+  Y ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
35 ringgrp 12997 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
361, 35syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
372, 6ringacl 13026 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .+  X )  e.  B )
381, 9, 9, 37syl3anc 1238 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  X )  e.  B )
392, 6grpass 12763 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  X )  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
4036, 38, 10, 10, 39syl13anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  X )  .+  ( Y  .+  Y ) ) )
412, 6grpass 12763 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4236, 14, 9, 10, 41syl13anc 1240 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  Y )  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  ( X  .+  Y ) ) )
4334, 40, 423eqtr4d 2220 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y ) )
442, 6ringacl 13026 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  X )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  B )
451, 38, 10, 44syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  e.  B )
462, 6ringacl 13026 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  .+  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  B )
471, 14, 9, 46syl3anc 1238 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  e.  B )
482, 6grprcan 12787 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  e.  B  /\  ( ( X  .+  Y )  .+  X
)  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( ( X  .+  X )  .+  Y
)  .+  Y )  =  ( ( ( X  .+  Y ) 
.+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
4936, 45, 47, 10, 48syl13anc 1240 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( ( ( X 
.+  X )  .+  Y )  .+  Y
)  =  ( ( ( X  .+  Y
)  .+  X )  .+  Y )  <->  ( ( X  .+  X )  .+  Y )  =  ( ( X  .+  Y
)  .+  X )
) )
5043, 49mpbid 147 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  X ) )
512, 6grpass 12763 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
5236, 9, 9, 10, 51syl13anc 1240 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  X
)  .+  Y )  =  ( X  .+  ( X  .+  Y ) ) )
532, 6grpass 12763 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B
) )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5436, 9, 10, 9, 53syl13anc 1240 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  Y
)  .+  X )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
5550, 52, 543eqtr3d 2218 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) ) )
562, 6ringacl 13026 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B )
57563com23 1209 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  .+  X )  e.  B )
582, 6grplcan 12808 . . 3  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( ( X  .+  Y )  e.  B  /\  ( Y  .+  X
)  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <-> 
( X  .+  Y
)  =  ( Y 
.+  X ) ) )
5936, 14, 57, 9, 58syl13anc 1240 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .+  ( X  .+  Y ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  X ) )  <->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X ) ) )
6055, 59mpbid 147 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( Y  .+  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   Basecbs 12432   +g cplusg 12505   .rcmulr 12506   Grpcgrp 12754   1rcur 12955   Ringcrg 12992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-sets 12439  df-plusg 12518  df-mulr 12519  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758  df-mgp 12945  df-ur 12956  df-ring 12994
This theorem is referenced by:  ringabl  13028
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