Theorem ringcom 14259

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcom	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2234	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	ringidcl 14248	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` R )
7	2, 6	ringacl 14258	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
9		simp2 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10		simp3 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11		eqid 2234	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	2, 6, 11	ringdi 14246	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
14	2, 6	ringacl 14258	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
15	2, 6, 11	ringdir 14247	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( X .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
17	13, 16	eqtr3d 2269	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
18	2, 6, 11	ringdir 14247	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
20	2, 11, 3	ringlidm 14251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
21	1, 9, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
22	21, 21	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) = ( X .+ X ) )
23	19, 22	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( X .+ X ) )
24	2, 6, 11	ringdir 14247	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
26	2, 11, 3	ringlidm 14251	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
27	1, 10, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
28	27, 27	oveq12d 6076	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
29	25, 28	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
30	23, 29	oveq12d 6076	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
31	2, 11, 3	ringlidm 14251	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
32	1, 14, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
33	32, 32	oveq12d 6076	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2275	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
35		ringgrp 14229	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Grp )
37	2, 6	ringacl 14258	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
39	2, 6	grpass 13806	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	2, 6	grpass 13806	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1276	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2277	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
44	2, 6	ringacl 14258	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
46	2, 6	ringacl 14258	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
48	2, 6	grprcan 13834	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1276	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
50	43, 49	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
51	2, 6	grpass 13806	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
53	2, 6	grpass 13806	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2275	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
56	2, 6	ringacl 14258	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
57	56	3com23 1236	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
58	2, 6	grplcan 13859	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Y .+ X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
60	55, 59	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   +g cplusg 13374   .rcmulr 13375   Grpcgrp 13797   1rcur 14187   Ringcrg 14224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13653  df-sgrp 13699  df-mnd 13714  df-grp 13800  df-minusg 13801  df-mgp 14149  df-ur 14188  df-ring 14226

This theorem is referenced by:  ringabl  14260  aprlring  14523