Theorem ringcom 13863

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcom	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2206	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	ringidcl 13852	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` R )
7	2, 6	ringacl 13862	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1250	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
9		simp2 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10		simp3 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11		eqid 2206	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	2, 6, 11	ringdi 13850	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
14	2, 6	ringacl 13862	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
15	2, 6, 11	ringdir 13851	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( X .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1252	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
17	13, 16	eqtr3d 2241	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
18	2, 6, 11	ringdir 13851	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
20	2, 11, 3	ringlidm 13855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
21	1, 9, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
22	21, 21	oveq12d 5974	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) = ( X .+ X ) )
23	19, 22	eqtrd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( X .+ X ) )
24	2, 6, 11	ringdir 13851	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
26	2, 11, 3	ringlidm 13855	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
27	1, 10, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
28	27, 27	oveq12d 5974	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
29	25, 28	eqtrd 2239	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
30	23, 29	oveq12d 5974	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
31	2, 11, 3	ringlidm 13855	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
32	1, 14, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
33	32, 32	oveq12d 5974	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2247	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
35		ringgrp 13833	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Grp )
37	2, 6	ringacl 13862	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
39	2, 6	grpass 13411	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1252	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	2, 6	grpass 13411	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1252	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2249	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
44	2, 6	ringacl 13862	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
46	2, 6	ringacl 13862	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
48	2, 6	grprcan 13439	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1252	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
50	43, 49	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
51	2, 6	grpass 13411	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
53	2, 6	grpass 13411	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2247	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
56	2, 6	ringacl 13862	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
57	56	3com23 1212	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
58	2, 6	grplcan 13464	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Y .+ X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1252	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
60	55, 59	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   Basecbs 12902   +g cplusg 12979   .rcmulr 12980   Grpcgrp 13402   1rcur 13791   Ringcrg 13828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltadd 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-ltxr 8127  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-plusg 12992  df-mulr 12993  df-0g 13160  df-mgm 13258  df-sgrp 13304  df-mnd 13319  df-grp 13405  df-minusg 13406  df-mgp 13753  df-ur 13792  df-ring 13830

This theorem is referenced by:  ringabl  13864