Theorem ringcom 14066

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcom	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	ringidcl 14055	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` R )
7	2, 6	ringacl 14065	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1273	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
9		simp2 1024	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10		simp3 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	2, 6, 11	ringdi 14053	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1275	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
14	2, 6	ringacl 14065	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
15	2, 6, 11	ringdir 14054	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( X .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1275	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
17	13, 16	eqtr3d 2266	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
18	2, 6, 11	ringdir 14054	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
20	2, 11, 3	ringlidm 14058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
21	1, 9, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
22	21, 21	oveq12d 6039	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) = ( X .+ X ) )
23	19, 22	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( X .+ X ) )
24	2, 6, 11	ringdir 14054	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1275	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
26	2, 11, 3	ringlidm 14058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
27	1, 10, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
28	27, 27	oveq12d 6039	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
29	25, 28	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
30	23, 29	oveq12d 6039	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
31	2, 11, 3	ringlidm 14058	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
32	1, 14, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
33	32, 32	oveq12d 6039	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2272	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
35		ringgrp 14036	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Grp )
37	2, 6	ringacl 14065	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
39	2, 6	grpass 13613	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	2, 6	grpass 13613	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1275	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2274	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
44	2, 6	ringacl 14065	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
46	2, 6	ringacl 14065	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
48	2, 6	grprcan 13641	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1275	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
50	43, 49	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
51	2, 6	grpass 13613	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
53	2, 6	grpass 13613	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2272	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
56	2, 6	ringacl 14065	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
57	56	3com23 1235	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
58	2, 6	grplcan 13666	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Y .+ X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1275	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
60	55, 59	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6021   Basecbs 13103   +g cplusg 13181   .rcmulr 13182   Grpcgrp 13604   1rcur 13994   Ringcrg 14031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-addass 8137  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltadd 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-ltxr 8222  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-sets 13110  df-plusg 13194  df-mulr 13195  df-0g 13362  df-mgm 13460  df-sgrp 13506  df-mnd 13521  df-grp 13607  df-minusg 13608  df-mgp 13956  df-ur 13995  df-ring 14033

This theorem is referenced by:  ringabl  14067