Theorem ringcom 13530

Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringacl.b	|- B = ( Base ` R )
ringacl.p	|- .+ = ( +g ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringcom	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Proof of Theorem ringcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 999	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Ring )
2		ringacl.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` R )
3		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
4	2, 3	ringidcl 13519	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. B )
5	1, 4	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( 1r ` R ) e. B )
6		ringacl.p	. . . . . . . . . 10 |- .+ = ( +g ` R )
7	2, 6	ringacl 13529	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
8	1, 5, 5, 7	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B )
9		simp2 1000	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B )
10		simp3 1001	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B )
11		eqid 2193	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
12	2, 6, 11	ringdi 13517	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
13	1, 8, 9, 10, 12	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) )
14	2, 6	ringacl 13529	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) e. B )
15	2, 6, 11	ringdir 13518	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ ( X .+ Y ) e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
16	1, 5, 5, 14, 15	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
17	13, 16	eqtr3d 2228	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) )
18	2, 6, 11	ringdir 13518	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
19	1, 5, 5, 9, 18	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) )
20	2, 11, 3	ringlidm 13522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
21	1, 9, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) = X )
22	21, 21	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) X ) ) = ( X .+ X ) )
23	19, 22	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) = ( X .+ X ) )
24	2, 6, 11	ringdir 13518	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( 1r ` R ) e. B /\ ( 1r ` R ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
25	1, 5, 5, 10, 24	syl13anc 1251	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) )
26	2, 11, 3	ringlidm 13522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
27	1, 10, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) = Y )
28	27, 27	oveq12d 5937	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( Y .+ Y ) )
29	25, 28	eqtrd 2226	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) = ( Y .+ Y ) )
30	23, 29	oveq12d 5937	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) X ) .+ ( ( ( 1r ` R ) .+ ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) Y ) ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
31	2, 11, 3	ringlidm 13522	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
32	1, 14, 31	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) = ( X .+ Y ) )
33	32, 32	oveq12d 5937	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) .+ ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) ( X .+ Y ) ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
34	17, 30, 33	3eqtr3d 2234	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
35		ringgrp 13500	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
36	1, 35	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> R e. Grp )
37	2, 6	ringacl 13529	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ X e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
38	1, 9, 9, 37	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ X ) e. B )
39	2, 6	grpass 13084	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
40	36, 38, 10, 10, 39	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( X .+ X ) .+ ( Y .+ Y ) ) )
41	2, 6	grpass 13084	. . . . . 6 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
42	36, 14, 9, 10, 41	syl13anc 1251	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ ( X .+ Y ) ) )
43	34, 40, 42	3eqtr4d 2236	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) )
44	2, 6	ringacl 13529	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ X ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
45	1, 38, 10, 44	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B )
46	2, 6	ringacl 13529	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( X .+ Y ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
47	1, 14, 9, 46	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B )
48	2, 6	grprcan 13112	. . . . 5 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) e. B /\ ( ( X .+ Y ) .+ X ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
49	36, 45, 47, 10, 48	syl13anc 1251	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ( X .+ X ) .+ Y ) .+ Y ) = ( ( ( X .+ Y ) .+ X ) .+ Y ) <-> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) ) )
50	43, 49	mpbid 147	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( ( X .+ Y ) .+ X ) )
51	2, 6	grpass 13084	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
52	36, 9, 9, 10, 51	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ X ) .+ Y ) = ( X .+ ( X .+ Y ) ) )
53	2, 6	grpass 13084	. . . 4 |- ( ( R e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
54	36, 9, 10, 9, 53	syl13anc 1251	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ Y ) .+ X ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
55	50, 52, 54	3eqtr3d 2234	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) )
56	2, 6	ringacl 13529	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
57	56	3com23 1211	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( Y .+ X ) e. B )
58	2, 6	grplcan 13137	. . 3 |- ( ( R e. Grp /\ ( ( X .+ Y ) e. B /\ ( Y .+ X ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
59	36, 14, 57, 9, 58	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( X .+ ( X .+ Y ) ) = ( X .+ ( Y .+ X ) ) <-> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) ) )
60	55, 59	mpbid 147	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .+ Y ) = ( Y .+ X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   .rcmulr 12699   Grpcgrp 13075   1rcur 13458   Ringcrg 13495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-ring 13497

This theorem is referenced by:  ringabl  13531