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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ringcom | Unicode version |
Description: Commutativity of the additive group of a ring. (Contributed by Gérard Lang, 4-Dec-2014.) |
Ref | Expression |
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ringacl.b |
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ringacl.p |
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Ref | Expression |
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ringcom |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simp1 997 |
. . . . . . . 8
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2 | ringacl.b |
. . . . . . . . . . 11
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3 | eqid 2177 |
. . . . . . . . . . 11
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4 | 2, 3 | ringidcl 13016 |
. . . . . . . . . 10
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5 | 1, 4 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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6 | ringacl.p |
. . . . . . . . . 10
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7 | 2, 6 | ringacl 13026 |
. . . . . . . . 9
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8 | 1, 5, 5, 7 | syl3anc 1238 |
. . . . . . . 8
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9 | simp2 998 |
. . . . . . . 8
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10 | simp3 999 |
. . . . . . . 8
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11 | eqid 2177 |
. . . . . . . . 9
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12 | 2, 6, 11 | ringdi 13014 |
. . . . . . . 8
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13 | 1, 8, 9, 10, 12 | syl13anc 1240 |
. . . . . . 7
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14 | 2, 6 | ringacl 13026 |
. . . . . . . 8
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15 | 2, 6, 11 | ringdir 13015 |
. . . . . . . 8
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16 | 1, 5, 5, 14, 15 | syl13anc 1240 |
. . . . . . 7
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17 | 13, 16 | eqtr3d 2212 |
. . . . . 6
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18 | 2, 6, 11 | ringdir 13015 |
. . . . . . . . 9
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19 | 1, 5, 5, 9, 18 | syl13anc 1240 |
. . . . . . . 8
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20 | 2, 11, 3 | ringlidm 13019 |
. . . . . . . . . 10
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21 | 1, 9, 20 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21, 21 | oveq12d 5886 |
. . . . . . . 8
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23 | 19, 22 | eqtrd 2210 |
. . . . . . 7
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24 | 2, 6, 11 | ringdir 13015 |
. . . . . . . . 9
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25 | 1, 5, 5, 10, 24 | syl13anc 1240 |
. . . . . . . 8
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26 | 2, 11, 3 | ringlidm 13019 |
. . . . . . . . . 10
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27 | 1, 10, 26 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . 9
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28 | 27, 27 | oveq12d 5886 |
. . . . . . . 8
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29 | 25, 28 | eqtrd 2210 |
. . . . . . 7
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30 | 23, 29 | oveq12d 5886 |
. . . . . 6
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31 | 2, 11, 3 | ringlidm 13019 |
. . . . . . . 8
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32 | 1, 14, 31 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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33 | 32, 32 | oveq12d 5886 |
. . . . . 6
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34 | 17, 30, 33 | 3eqtr3d 2218 |
. . . . 5
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35 | ringgrp 12997 |
. . . . . . 7
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36 | 1, 35 | syl 14 |
. . . . . 6
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37 | 2, 6 | ringacl 13026 |
. . . . . . 7
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38 | 1, 9, 9, 37 | syl3anc 1238 |
. . . . . 6
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39 | 2, 6 | grpass 12763 |
. . . . . 6
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40 | 36, 38, 10, 10, 39 | syl13anc 1240 |
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41 | 2, 6 | grpass 12763 |
. . . . . 6
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42 | 36, 14, 9, 10, 41 | syl13anc 1240 |
. . . . 5
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43 | 34, 40, 42 | 3eqtr4d 2220 |
. . . 4
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44 | 2, 6 | ringacl 13026 |
. . . . . 6
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45 | 1, 38, 10, 44 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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46 | 2, 6 | ringacl 13026 |
. . . . . 6
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47 | 1, 14, 9, 46 | syl3anc 1238 |
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48 | 2, 6 | grprcan 12787 |
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49 | 36, 45, 47, 10, 48 | syl13anc 1240 |
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50 | 43, 49 | mpbid 147 |
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51 | 2, 6 | grpass 12763 |
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52 | 36, 9, 9, 10, 51 | syl13anc 1240 |
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53 | 2, 6 | grpass 12763 |
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54 | 36, 9, 10, 9, 53 | syl13anc 1240 |
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55 | 50, 52, 54 | 3eqtr3d 2218 |
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56 | 2, 6 | ringacl 13026 |
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57 | 56 | 3com23 1209 |
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58 | 2, 6 | grplcan 12808 |
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59 | 36, 14, 57, 9, 58 | syl13anc 1240 |
. 2
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60 | 55, 59 | mpbid 147 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-addcom 7889 ax-addass 7891 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltadd 7905 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4289 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-f1 5216 df-fo 5217 df-f1o 5218 df-fv 5219 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-ltxr 7974 df-inn 8896 df-2 8954 df-3 8955 df-ndx 12435 df-slot 12436 df-base 12438 df-sets 12439 df-plusg 12518 df-mulr 12519 df-0g 12642 df-mgm 12654 df-sgrp 12687 df-mnd 12697 df-grp 12757 df-minusg 12758 df-mgp 12945 df-ur 12956 df-ring 12994 |
This theorem is referenced by: ringabl 13028 |
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