Theorem opprring 14111

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprring	|- ( R e. Ring -> O e. Ring )

Proof of Theorem opprring

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
2		eqid 2231	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	opprbasg 14107	. 2 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` O ) )
4		eqid 2231	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
5	1, 4	oppraddg 14108	. 2 |- ( R e. Ring -> ( +g ` R ) = ( +g ` O ) )
6		eqidd 2232	. 2 |- ( R e. Ring -> ( .r ` O ) = ( .r ` O ) )
7		ringgrp 14033	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
8		eqidd 2232	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
9	5	oveqdr 6046	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
10	8, 3, 9	grppropd 13618	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( R e. Grp <-> O e. Grp ) )
11	7, 10	mpbid 147	. 2 |- ( R e. Ring -> O e. Grp )
12		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
13		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` O ) = ( .r ` O )
14	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) = ( y ( .r ` R ) x ) )
15	2, 12	ringcl 14045	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
16	15	3com23 1235	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
17	14, 16	eqeltrd 2308	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) e. ( Base ` R ) )
18		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> R e. Ring )
19		simpr3 1031	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
20		simpr2 1030	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
21		simpr1 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
22	2, 12	ringass 14048	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( z e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
23	18, 19, 20, 21, 22	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
24	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
25	24	3adant3r1 1238	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
26	25	oveq2d 6034	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
27	2, 12	ringcl 14045	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ z e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
28	18, 19, 20, 27	syl3anc 1273	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
29	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
30	18, 21, 28, 29	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
31	26, 30	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
32	14	oveq1d 6033	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) )
33	32	3adant3r3 1240	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) )
34	16	3adant3r3 1240	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
35	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
36	18, 34, 19, 35	syl3anc 1273	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
37	33, 36	eqtrd 2264	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
38	23, 31, 37	3eqtr4rd 2275	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) )
39	2, 4, 12	ringdir 14051	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
40	18, 20, 19, 21, 39	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
41	2, 4	ringacl 14062	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) )
42	41	3adant3r1 1238	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) )
43	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) )
44	18, 21, 42, 43	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) )
45	14	3adant3r3 1240	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) = ( y ( .r ` R ) x ) )
46	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
47	46	3adant3r2 1239	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
48	45, 47	oveq12d 6036	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` O ) z ) ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
49	40, 44, 48	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` O ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` O ) z ) ) )
50	2, 4, 12	ringdi 14050	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( z e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
51	18, 19, 21, 20, 50	syl13anc 1275	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
52	2, 4	ringacl 14062	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
53	52	3adant3r3 1240	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
54	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
55	18, 53, 19, 54	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
56	47, 25	oveq12d 6036	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
57	51, 55, 56	3eqtr4d 2274	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( x ( .r ` O ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` O ) z ) ) )
58		eqid 2231	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
59	2, 58	ringidcl 14052	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
60		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
61	60, 59	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
62		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
63	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
65	2, 12, 58	ringridm 14056	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = x )
66	64, 65	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = x )
67	2, 12, 1, 13	opprmulg 14103	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) )
68	60, 62, 61, 67	syl3anc 1273	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) )
69	2, 12, 58	ringlidm 14055	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
70	68, 69	eqtrd 2264	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = x )
71	3, 5, 6, 11, 17, 38, 49, 57, 59, 66, 70	isringd 14073	1 |- ( R e. Ring -> O e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Basecbs 13100   +g cplusg 13178   .rcmulr 13179   Grpcgrp 13601   1rcur 13991   Ringcrg 14028  opp_rcoppr 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-tpos 6411  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13103  df-slot 13104  df-base 13106  df-sets 13107  df-plusg 13191  df-mulr 13192  df-0g 13359  df-mgm 13457  df-sgrp 13503  df-mnd 13518  df-grp 13604  df-mgp 13953  df-ur 13992  df-ring 14030  df-oppr 14100

This theorem is referenced by:  opprringbg  14112  mulgass3  14117  1unit  14140  opprunitd  14143  crngunit  14144  unitmulcl  14146  unitgrp  14149  unitnegcl  14163  unitpropdg  14181  subrguss  14269  subrgunit  14272  isridl  14537  ridl0  14543  ridl1  14544