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Theorem opprring 13390
Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1  |-  O  =  (oppr
`  R )
Assertion
Ref Expression
opprring  |-  ( R  e.  Ring  ->  O  e. 
Ring )

Proof of Theorem opprring
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . 3  |-  O  =  (oppr
`  R )
2 eqid 2189 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2opprbasg 13386 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
)
4 eqid 2189 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
51, 4oppraddg 13387 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  O ) )
6 eqidd 2190 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( .r
`  O )  =  ( .r `  O
) )
7 ringgrp 13316 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
8 eqidd 2190 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
)
95oveqdr 5919 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
) ) )  -> 
( x ( +g  `  R ) y )  =  ( x ( +g  `  O ) y ) )
108, 3, 9grppropd 12928 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( R  e.  Grp  <->  O  e.  Grp ) )
117, 10mpbid 147 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  O  e. 
Grp )
12 eqid 2189 . . . 4  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
13 eqid 2189 . . . 4  |-  ( .r
`  O )  =  ( .r `  O
)
142, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  O
) y )  =  ( y ( .r
`  R ) x ) )
152, 12ringcl 13328 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( y
( .r `  R
) x )  e.  ( Base `  R
) )
16153com23 1211 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( y
( .r `  R
) x )  e.  ( Base `  R
) )
1714, 16eqeltrd 2266 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  O
) y )  e.  ( Base `  R
) )
18 simpl 109 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  R  e.  Ring )
19 simpr3 1007 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  z  e.  ( Base `  R
) )
20 simpr2 1006 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  y  e.  ( Base `  R
) )
21 simpr1 1005 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
222, 12ringass 13331 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
z  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  x  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( z ( .r
`  R ) y ) ( .r `  R ) x )  =  ( z ( .r `  R ) ( y ( .r
`  R ) x ) ) )
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1251 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( z ( .r
`  R ) y ) ( .r `  R ) x )  =  ( z ( .r `  R ) ( y ( .r
`  R ) x ) ) )
242, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( y
( .r `  O
) z )  =  ( z ( .r
`  R ) y ) )
25243adant3r1 1214 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y ( .r `  O ) z )  =  ( z ( .r `  R ) y ) )
2625oveq2d 5907 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( y ( .r `  O
) z ) )  =  ( x ( .r `  O ) ( z ( .r
`  R ) y ) ) )
272, 12ringcl 13328 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  z  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( z
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
2818, 19, 20, 27syl3anc 1249 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
z ( .r `  R ) y )  e.  ( Base `  R
) )
292, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( z
( .r `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( z ( .r `  R
) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) y ) ( .r `  R ) x ) )
3018, 21, 28, 29syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( z ( .r `  R
) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) y ) ( .r `  R ) x ) )
3126, 30eqtrd 2222 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( y ( .r `  O
) z ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) y ) ( .r `  R ) x ) )
3214oveq1d 5906 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
x ( .r `  O ) y ) ( .r `  O
) z )  =  ( ( y ( .r `  R ) x ) ( .r
`  O ) z ) )
33323adant3r3 1216 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x ( .r
`  O ) y ) ( .r `  O ) z )  =  ( ( y ( .r `  R
) x ) ( .r `  O ) z ) )
34163adant3r3 1216 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y ( .r `  R ) x )  e.  ( Base `  R
) )
352, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
y ( .r `  R ) x )  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
y ( .r `  R ) x ) ( .r `  O
) z )  =  ( z ( .r
`  R ) ( y ( .r `  R ) x ) ) )
3618, 34, 19, 35syl3anc 1249 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( y ( .r
`  R ) x ) ( .r `  O ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( y ( .r
`  R ) x ) ) )
3733, 36eqtrd 2222 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x ( .r
`  O ) y ) ( .r `  O ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( y ( .r
`  R ) x ) ) )
3823, 31, 373eqtr4rd 2233 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x ( .r
`  O ) y ) ( .r `  O ) z )  =  ( x ( .r `  O ) ( y ( .r
`  O ) z ) ) )
392, 4, 12ringdir 13334 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
y  e.  ( Base `  R )  /\  z  e.  ( Base `  R
)  /\  x  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( y ( +g  `  R ) z ) ( .r `  R
) x )  =  ( ( y ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) x ) ) )
4018, 20, 19, 21, 39syl13anc 1251 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( y ( +g  `  R ) z ) ( .r `  R
) x )  =  ( ( y ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) x ) ) )
412, 4ringacl 13345 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( y
( +g  `  R ) z )  e.  (
Base `  R )
)
42413adant3r1 1214 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
y ( +g  `  R
) z )  e.  ( Base `  R
) )
432, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( y
( +g  `  R ) z )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  O
) ( y ( +g  `  R ) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  R ) z ) ( .r
`  R ) x ) )
4418, 21, 42, 43syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( y ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( y ( +g  `  R
) z ) ( .r `  R ) x ) )
45143adant3r3 1216 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  O ) y )  =  ( y ( .r `  R ) x ) )
462, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  O
) z )  =  ( z ( .r
`  R ) x ) )
47463adant3r2 1215 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  O ) z )  =  ( z ( .r `  R ) x ) )
4845, 47oveq12d 5909 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x ( .r
`  O ) y ) ( +g  `  R
) ( x ( .r `  O ) z ) )  =  ( ( y ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) x ) ) )
4940, 44, 483eqtr4d 2232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( y ( +g  `  R
) z ) )  =  ( ( x ( .r `  O
) y ) ( +g  `  R ) ( x ( .r
`  O ) z ) ) )
502, 4, 12ringdi 13333 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
z  e.  ( Base `  R )  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r
`  R ) y ) ) )
5118, 19, 21, 20, 50syl13anc 1251 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) )  =  ( ( z ( .r `  R
) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r
`  R ) y ) ) )
522, 4ringacl 13345 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  y  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( x
( +g  `  R ) y )  e.  (
Base `  R )
)
53523adant3r3 1216 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
) )
542, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x ( +g  `  R
) y )  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( (
x ( +g  `  R
) y ) ( .r `  O ) z )  =  ( z ( .r `  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
5518, 53, 19, 54syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  O
) z )  =  ( z ( .r
`  R ) ( x ( +g  `  R
) y ) ) )
5647, 25oveq12d 5909 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x ( .r
`  O ) z ) ( +g  `  R
) ( y ( .r `  O ) z ) )  =  ( ( z ( .r `  R ) x ) ( +g  `  R ) ( z ( .r `  R
) y ) ) )
5751, 55, 563eqtr4d 2232 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x ( +g  `  R ) y ) ( .r `  O
) z )  =  ( ( x ( .r `  O ) z ) ( +g  `  R ) ( y ( .r `  O
) z ) ) )
58 eqid 2189 . . 3  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
592, 58ringidcl 13335 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
60 simpl 109 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  R  e.  Ring )
6160, 59syl 14 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
62 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
632, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
)  /\  x  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( ( 1r `  R ) ( .r `  O ) x )  =  ( x ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) ) )
6460, 61, 62, 63syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  O ) x )  =  ( x ( .r `  R ) ( 1r `  R
) ) )
652, 12, 58ringridm 13339 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x ( .r `  R ) ( 1r
`  R ) )  =  x )
6664, 65eqtrd 2222 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  O ) x )  =  x )
672, 12, 1, 13opprmulg 13382 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( 1r `  R )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( x
( .r `  O
) ( 1r `  R ) )  =  ( ( 1r `  R ) ( .r
`  R ) x ) )
6860, 62, 61, 67syl3anc 1249 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( 1r
`  R ) )  =  ( ( 1r
`  R ) ( .r `  R ) x ) )
692, 12, 58ringlidm 13338 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( 1r `  R
) ( .r `  R ) x )  =  x )
7068, 69eqtrd 2222 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x ( .r `  O ) ( 1r
`  R ) )  =  x )
713, 5, 6, 11, 17, 38, 49, 57, 59, 66, 70isringd 13356 1  |-  ( R  e.  Ring  ->  O  e. 
Ring )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   Basecbs 12480   +g cplusg 12555   .rcmulr 12556   Grpcgrp 12911   1rcur 13274   Ringcrg 13311  opprcoppr 13378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-addcom 7929  ax-addass 7931  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-ltadd 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-tpos 6264  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-ltxr 8015  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-ndx 12483  df-slot 12484  df-base 12486  df-sets 12487  df-plusg 12568  df-mulr 12569  df-0g 12729  df-mgm 12798  df-sgrp 12831  df-mnd 12844  df-grp 12914  df-mgp 13236  df-ur 13275  df-ring 13313  df-oppr 13379
This theorem is referenced by:  opprringbg  13391  mulgass3  13396  1unit  13418  opprunitd  13421  crngunit  13422  unitmulcl  13424  unitgrp  13427  unitnegcl  13441  unitpropdg  13459  subrguss  13544  subrgunit  13547  isridl  13780  ridl0  13786  ridl1  13787
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