Theorem opprring 13874

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprring	|- ( R e. Ring -> O e. Ring )

Proof of Theorem opprring

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
2		eqid 2205	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	opprbasg 13870	. 2 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` O ) )
4		eqid 2205	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
5	1, 4	oppraddg 13871	. 2 |- ( R e. Ring -> ( +g ` R ) = ( +g ` O ) )
6		eqidd 2206	. 2 |- ( R e. Ring -> ( .r ` O ) = ( .r ` O ) )
7		ringgrp 13796	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
8		eqidd 2206	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
9	5	oveqdr 5974	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
10	8, 3, 9	grppropd 13382	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( R e. Grp <-> O e. Grp ) )
11	7, 10	mpbid 147	. 2 |- ( R e. Ring -> O e. Grp )
12		eqid 2205	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
13		eqid 2205	. . . 4 |- ( .r ` O ) = ( .r ` O )
14	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) = ( y ( .r ` R ) x ) )
15	2, 12	ringcl 13808	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
16	15	3com23 1212	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
17	14, 16	eqeltrd 2282	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) e. ( Base ` R ) )
18		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> R e. Ring )
19		simpr3 1008	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
20		simpr2 1007	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
21		simpr1 1006	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
22	2, 12	ringass 13811	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( z e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
23	18, 19, 20, 21, 22	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
24	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
25	24	3adant3r1 1215	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
26	25	oveq2d 5962	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
27	2, 12	ringcl 13808	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ z e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
28	18, 19, 20, 27	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
29	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
30	18, 21, 28, 29	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
31	26, 30	eqtrd 2238	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
32	14	oveq1d 5961	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) )
33	32	3adant3r3 1217	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) )
34	16	3adant3r3 1217	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
35	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
36	18, 34, 19, 35	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
37	33, 36	eqtrd 2238	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
38	23, 31, 37	3eqtr4rd 2249	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) )
39	2, 4, 12	ringdir 13814	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
40	18, 20, 19, 21, 39	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
41	2, 4	ringacl 13825	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) )
42	41	3adant3r1 1215	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) )
43	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) )
44	18, 21, 42, 43	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) )
45	14	3adant3r3 1217	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) = ( y ( .r ` R ) x ) )
46	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
47	46	3adant3r2 1216	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
48	45, 47	oveq12d 5964	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` O ) z ) ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
49	40, 44, 48	3eqtr4d 2248	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` O ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` O ) z ) ) )
50	2, 4, 12	ringdi 13813	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( z e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
51	18, 19, 21, 20, 50	syl13anc 1252	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
52	2, 4	ringacl 13825	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
53	52	3adant3r3 1217	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
54	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
55	18, 53, 19, 54	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
56	47, 25	oveq12d 5964	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
57	51, 55, 56	3eqtr4d 2248	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( x ( .r ` O ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` O ) z ) ) )
58		eqid 2205	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
59	2, 58	ringidcl 13815	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
60		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
61	60, 59	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
62		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
63	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
65	2, 12, 58	ringridm 13819	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = x )
66	64, 65	eqtrd 2238	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = x )
67	2, 12, 1, 13	opprmulg 13866	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) )
68	60, 62, 61, 67	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) )
69	2, 12, 58	ringlidm 13818	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
70	68, 69	eqtrd 2238	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = x )
71	3, 5, 6, 11, 17, 38, 49, 57, 59, 66, 70	isringd 13836	1 |- ( R e. Ring -> O e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   +g cplusg 12942   .rcmulr 12943   Grpcgrp 13365   1rcur 13754   Ringcrg 13791  opp_rcoppr 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-tpos 6333  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-0g 13123  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-ring 13793  df-oppr 13863

This theorem is referenced by:  opprringbg  13875  mulgass3  13880  1unit  13902  opprunitd  13905  crngunit  13906  unitmulcl  13908  unitgrp  13911  unitnegcl  13925  unitpropdg  13943  subrguss  14031  subrgunit  14034  isridl  14299  ridl0  14305  ridl1  14306