Theorem opprring 14042

Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprbas.1	|- O = (oppr ` R )

Assertion

Ref	Expression
opprring	|- ( R e. Ring -> O e. Ring )

Proof of Theorem opprring

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprbas.1	. . 3 |- O = (oppr ` R )
2		eqid 2229	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3	1, 2	opprbasg 14038	. 2 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` O ) )
4		eqid 2229	. . 3 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
5	1, 4	oppraddg 14039	. 2 |- ( R e. Ring -> ( +g ` R ) = ( +g ` O ) )
6		eqidd 2230	. 2 |- ( R e. Ring -> ( .r ` O ) = ( .r ` O ) )
7		ringgrp 13964	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
8		eqidd 2230	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
9	5	oveqdr 6029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` O ) y ) )
10	8, 3, 9	grppropd 13550	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( R e. Grp <-> O e. Grp ) )
11	7, 10	mpbid 147	. 2 |- ( R e. Ring -> O e. Grp )
12		eqid 2229	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
13		eqid 2229	. . . 4 |- ( .r ` O ) = ( .r ` O )
14	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) = ( y ( .r ` R ) x ) )
15	2, 12	ringcl 13976	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
16	15	3com23 1233	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
17	14, 16	eqeltrd 2306	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) e. ( Base ` R ) )
18		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> R e. Ring )
19		simpr3 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
20		simpr2 1028	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
21		simpr1 1027	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
22	2, 12	ringass 13979	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( z e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
23	18, 19, 20, 21, 22	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
24	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
25	24	3adant3r1 1236	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) y ) )
26	25	oveq2d 6017	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
27	2, 12	ringcl 13976	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ z e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
28	18, 19, 20, 27	syl3anc 1271	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
29	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( z ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
30	18, 21, 28, 29	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( z ( .r ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
31	26, 30	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( ( z ( .r ` R ) y ) ( .r ` R ) x ) )
32	14	oveq1d 6016	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) )
33	32	3adant3r3 1238	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) )
34	16	3adant3r3 1238	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) )
35	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y ( .r ` R ) x ) e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
36	18, 34, 19, 35	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( .r ` R ) x ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
37	33, 36	eqtrd 2262	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( y ( .r ` R ) x ) ) )
38	23, 31, 37	3eqtr4rd 2273	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( x ( .r ` O ) ( y ( .r ` O ) z ) ) )
39	2, 4, 12	ringdir 13982	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
40	18, 20, 19, 21, 39	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
41	2, 4	ringacl 13993	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) )
42	41	3adant3r1 1236	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) )
43	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( y ( +g ` R ) z ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) )
44	18, 21, 42, 43	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) ( .r ` R ) x ) )
45	14	3adant3r3 1238	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) y ) = ( y ( .r ` R ) x ) )
46	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
47	46	3adant3r2 1237	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) x ) )
48	45, 47	oveq12d 6019	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` O ) z ) ) = ( ( y ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) x ) ) )
49	40, 44, 48	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( x ( .r ` O ) y ) ( +g ` R ) ( x ( .r ` O ) z ) ) )
50	2, 4, 12	ringdi 13981	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( z e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
51	18, 19, 21, 20, 50	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
52	2, 4	ringacl 13993	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
53	52	3adant3r3 1238	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
54	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
55	18, 53, 19, 54	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( z ( .r ` R ) ( x ( +g ` R ) y ) ) )
56	47, 25	oveq12d 6019	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( .r ` O ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` O ) z ) ) = ( ( z ( .r ` R ) x ) ( +g ` R ) ( z ( .r ` R ) y ) ) )
57	51, 55, 56	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .r ` O ) z ) = ( ( x ( .r ` O ) z ) ( +g ` R ) ( y ( .r ` O ) z ) ) )
58		eqid 2229	. . 3 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
59	2, 58	ringidcl 13983	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
60		simpl 109	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> R e. Ring )
61	60, 59	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
62		simpr 110	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
63	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
65	2, 12, 58	ringridm 13987	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = x )
66	64, 65	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` O ) x ) = x )
67	2, 12, 1, 13	opprmulg 14034	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) )
68	60, 62, 61, 67	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) )
69	2, 12, 58	ringlidm 13986	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) x ) = x )
70	68, 69	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` O ) ( 1r ` R ) ) = x )
71	3, 5, 6, 11, 17, 38, 49, 57, 59, 66, 70	isringd 14004	1 |- ( R e. Ring -> O e. Ring )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   +g cplusg 13110   .rcmulr 13111   Grpcgrp 13533   1rcur 13922   Ringcrg 13959  opp_rcoppr 14030

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-tpos 6391  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-oppr 14031

This theorem is referenced by:  opprringbg  14043  mulgass3  14048  1unit  14071  opprunitd  14074  crngunit  14075  unitmulcl  14077  unitgrp  14080  unitnegcl  14094  unitpropdg  14112  subrguss  14200  subrgunit  14203  isridl  14468  ridl0  14474  ridl1  14475