Theorem ringrghm 13618

Description: Right-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringlghm.b	|- B = ( Base ` R )
ringlghm.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringrghm	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, R   x, .x.   x, X

Proof of Theorem ringrghm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	. 2 |- B = ( Base ` R )
2		eqid 2196	. 2 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
3		ringgrp 13557	. . 3 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> R e. Grp )
5		ringlghm.t	. . . . . 6 |- .x. = ( .r ` R )
6	1, 5	ringcl 13569	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
7	6	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ x e. B ) /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
8	7	an32s 568	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B )
9	8	fmpttd 5717	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B )
10		df-3an 982	. . . . 5 |- ( ( y e. B /\ z e. B /\ X e. B ) <-> ( ( y e. B /\ z e. B ) /\ X e. B ) )
11	1, 2, 5	ringdir 13575	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
12	10, 11	sylan2br 288	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y e. B /\ z e. B ) /\ X e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
13	12	anass1rs 571	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
14		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) = ( x e. B |-> ( x .x. X ) )
15		oveq1 5929	. . . 4 |- ( x = ( y ( +g ` R ) z ) -> ( x .x. X ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) )
16	1, 2	ringacl 13586	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
17	16	3expb 1206	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
18	17	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y ( +g ` R ) z ) e. B )
19		simpll 527	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> R e. Ring )
20		simplr 528	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> X e. B )
21	1, 5	ringcl 13569	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ ( y ( +g ` R ) z ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) e. B )
22	19, 18, 20, 21	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) e. B )
23	14, 15, 18, 22	fvmptd3 5655	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( y ( +g ` R ) z ) .x. X ) )
24		oveq1 5929	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
25		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
26	1, 5	ringcl 13569	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ y e. B /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
27	19, 25, 20, 26	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( y .x. X ) e. B )
28	14, 24, 25, 27	fvmptd3 5655	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) = ( y .x. X ) )
29		oveq1 5929	. . . . 5 |- ( x = z -> ( x .x. X ) = ( z .x. X ) )
30		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
31	1, 5	ringcl 13569	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ z e. B /\ X e. B ) -> ( z .x. X ) e. B )
32	19, 30, 20, 31	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( z .x. X ) e. B )
33	14, 29, 30, 32	fvmptd3 5655	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) = ( z .x. X ) )
34	28, 33	oveq12d 5940	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) ( z .x. X ) ) )
35	13, 23, 34	3eqtr4d 2239	. 2 |- ( ( ( R e. Ring /\ X e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( y ( +g ` R ) z ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` y ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` z ) ) )
36	1, 1, 2, 2, 4, 4, 9, 35	isghmd 13382	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R GrpHom R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   |-> cmpt 4094   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   .rcmulr 12756   Grpcgrp 13132   GrpHom cghm 13370   Ringcrg 13552

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-ghm 13371  df-mgp 13477  df-ring 13554

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