Theorem mulgass2 14336

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	|- B = ( Base ` R )
mulgass2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgass2.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	|- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
7		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
9		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
11		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
13		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) )
15		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
17		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
19		oveq1 6082	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2253	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
23		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
24	21, 22, 23	ringlz 14321	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
25	24	3adant3 1048	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
26		simp3 1030	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> X e. B )
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
28	21, 23, 27	mulg0 13905	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
30	29	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
31	21, 22	ringcl 14291	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
32	31	3com23 1240	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
33	21, 23, 27	mulg0 13905	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
36		oveq1 6082	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
37		simpl1 1031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Ring )
38		ringgrp 14279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
40		nn0z 9643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
43		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44	21, 27, 43	mulgp1 13935	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
46	45	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
47	38	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> R e. Grp )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
49	21, 27	mulgcl 13919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( y .x. X ) e. B )
51		simpl2 1032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> Y e. B )
52	21, 43, 22	ringdir 14297	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	46, 53	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( X .X. Y ) e. B )
56	21, 27, 43	mulgp1 13935	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	54, 57	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) )
59	36, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
60	59	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
61		fveq2 5690	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Grp )
63		nnz 9642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> y e. ZZ )
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> X e. B )
66		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
67	21, 27, 66	mulgneg 13920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
69	68	oveq1d 6090	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) )
70		simpl1 1031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Ring )
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( y .x. X ) e. B )
72		simpl2 1032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> Y e. B )
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 14331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
74	69, 73	eqtrd 2271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( X .X. Y ) e. B )
76	21, 27, 66	mulgneg 13920	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
79	61, 78	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
80	79	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9743	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
82	81	3exp 1233	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
83	82	com24 87	. 2 |- ( R e. Ring -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
84	83	3imp2 1253	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   -ucneg 8488   NNcn 9283   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409   0gc0g 13587   Grpcgrp 13782   invgcminusg 13783  ._gcmg 13899   Ringcrg 14274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-seqfrec 10863  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-minusg 13786  df-mulg 13900  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276

This theorem is referenced by:  mulgass3  14364  mulgrhm  14916