Theorem mulgass2 14036

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	|- B = ( Base ` R )
mulgass2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgass2.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	|- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
7		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
9		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
11		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
13		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) )
15		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
17		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
19		oveq1 6014	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2244	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
23		eqid 2229	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
24	21, 22, 23	ringlz 14021	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
25	24	3adant3 1041	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
26		simp3 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> X e. B )
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
28	21, 23, 27	mulg0 13677	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
30	29	oveq1d 6022	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
31	21, 22	ringcl 13991	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
32	31	3com23 1233	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
33	21, 23, 27	mulg0 13677	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2272	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
36		oveq1 6014	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
37		simpl1 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Ring )
38		ringgrp 13979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
40		nn0z 9477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
43		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44	21, 27, 43	mulgp1 13707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
46	45	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
47	38	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> R e. Grp )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
49	21, 27	mulgcl 13691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( y .x. X ) e. B )
51		simpl2 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> Y e. B )
52	21, 43, 22	ringdir 13997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	46, 53	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( X .X. Y ) e. B )
56	21, 27, 43	mulgp1 13707	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	54, 57	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) )
59	36, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
60	59	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
61		fveq2 5629	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Grp )
63		nnz 9476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> y e. ZZ )
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> X e. B )
66		eqid 2229	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
67	21, 27, 66	mulgneg 13692	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
69	68	oveq1d 6022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) )
70		simpl1 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Ring )
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( y .x. X ) e. B )
72		simpl2 1025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> Y e. B )
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 14031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
74	69, 73	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( X .X. Y ) e. B )
76	21, 27, 66	mulgneg 13692	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
79	61, 78	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
80	79	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9576	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
82	81	3exp 1226	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
83	82	com24 87	. 2 |- ( R e. Ring -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
84	83	3imp2 1246	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   0cc0 8010   1c1 8011   + caddc 8013   -ucneg 8329   NNcn 9121   NN0cn0 9380   ZZcz 9457   Basecbs 13047   +g cplusg 13125   .rcmulr 13126   0gc0g 13304   Grpcgrp 13548   invgcminusg 13549  ._gcmg 13671   Ringcrg 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-fz 10217  df-seqfrec 10682  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-mulg 13672  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976

This theorem is referenced by:  mulgass3  14063  mulgrhm  14588