Theorem mulgass2 13027

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	|- B = ( Base ` R )
mulgass2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgass2.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	|- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2190	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
7		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2190	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
9		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
11		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2190	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
13		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) )
15		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2190	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
17		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
19		oveq1 5872	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2190	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
23		eqid 2175	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
24	21, 22, 23	ringlz 13014	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
25	24	3adant3 1017	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
26		simp3 999	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> X e. B )
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
28	21, 23, 27	mulg0 12847	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
30	29	oveq1d 5880	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
31	21, 22	ringcl 12989	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
32	31	3com23 1209	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
33	21, 23, 27	mulg0 12847	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2218	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
36		oveq1 5872	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
37		simpl1 1000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Ring )
38		ringgrp 12977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
40		nn0z 9244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
43		eqid 2175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44	21, 27, 43	mulgp1 12874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
46	45	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
47	38	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> R e. Grp )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
49	21, 27	mulgcl 12859	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( y .x. X ) e. B )
51		simpl2 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> Y e. B )
52	21, 43, 22	ringdir 12995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	46, 53	eqtrd 2208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( X .X. Y ) e. B )
56	21, 27, 43	mulgp1 12874	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	54, 57	eqeq12d 2190	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) )
59	36, 58	syl5ibr 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
60	59	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
61		fveq2 5507	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Grp )
63		nnz 9243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> y e. ZZ )
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> X e. B )
66		eqid 2175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
67	21, 27, 66	mulgneg 12860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
69	68	oveq1d 5880	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) )
70		simpl1 1000	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Ring )
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( y .x. X ) e. B )
72		simpl2 1001	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> Y e. B )
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 13022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
74	69, 73	eqtrd 2208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( X .X. Y ) e. B )
76	21, 27, 66	mulgneg 12860	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2190	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
79	61, 78	syl5ibr 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
80	79	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9342	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
82	81	3exp 1202	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
83	82	com24 87	. 2 |- ( R e. Ring -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
84	83	3imp2 1222	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2146   ` cfv 5208  (class class class)co 5865   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   -ucneg 8103   NNcn 8890   NN0cn0 9147   ZZcz 9224   Basecbs 12427   +g cplusg 12491   .rcmulr 12492   0gc0g 12625   Grpcgrp 12737   invgcminusg 12738  ._gcmg 12842   Ringcrg 12972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-fz 9978  df-seqfrec 10414  df-ndx 12430  df-slot 12431  df-base 12433  df-sets 12434  df-plusg 12504  df-mulr 12505  df-0g 12627  df-mgm 12639  df-sgrp 12672  df-mnd 12682  df-grp 12740  df-minusg 12741  df-mulg 12843  df-mgp 12926  df-ur 12936  df-ring 12974

This theorem is referenced by: (None)