Theorem mulgass2 14135

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass2.b	|- B = ( Base ` R )
mulgass2.m	|- .x. = (.g ` R )
mulgass2.t	|- .X. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
mulgass2	|- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( x = 0 -> ( x .x. X ) = ( 0 .x. X ) )
2	1	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) )
3		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( x = 0 -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
4	2, 3	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) ) )
5		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x .x. X ) = ( y .x. X ) )
6	5	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( y .x. X ) .X. Y ) )
7		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) )
8	6, 7	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
9		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. X ) = ( ( y + 1 ) .x. X ) )
10	9	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) )
11		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
13		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( x = -u y -> ( x .x. X ) = ( -u y .x. X ) )
14	13	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) )
15		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( x = -u y -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) )
16	14, 15	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = -u y -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
17		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( x .x. X ) = ( N .x. X ) )
18	17	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( ( N .x. X ) .X. Y ) )
19		oveq1 6035	. . . . . 6 |- ( x = N -> ( x .x. ( X .X. Y ) ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )
20	18, 19	eqeq12d 2246	. . . . 5 |- ( x = N -> ( ( ( x .x. X ) .X. Y ) = ( x .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
21		mulgass2.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` R )
22		mulgass2.t	. . . . . . . 8 |- .X. = ( .r ` R )
23		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
24	21, 22, 23	ringlz 14120	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
25	24	3adant3 1044	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .X. Y ) = ( 0g ` R ) )
26		simp3 1026	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> X e. B )
27		mulgass2.m	. . . . . . . . 9 |- .x. = (.g ` R )
28	21, 23, 27	mulg0 13775	. . . . . . . 8 |- ( X e. B -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
29	26, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. X ) = ( 0g ` R ) )
30	29	oveq1d 6043	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( ( 0g ` R ) .X. Y ) )
31	21, 22	ringcl 14090	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
32	31	3com23 1236	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( X .X. Y ) e. B )
33	21, 23, 27	mulg0 13775	. . . . . . 7 |- ( ( X .X. Y ) e. B -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) = ( 0g ` R ) )
35	25, 30, 34	3eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( ( 0 .x. X ) .X. Y ) = ( 0 .x. ( X .X. Y ) ) )
36		oveq1 6035	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
37		simpl1 1027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Ring )
38		ringgrp 14078	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
39	37, 38	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
40		nn0z 9543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN0 -> y e. ZZ )
41	40	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> y e. ZZ )
42	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> X e. B )
43		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
44	21, 27, 43	mulgp1 13805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
45	39, 41, 42, 44	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. X ) = ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) )
46	45	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) )
47	38	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> R e. Grp )
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> R e. Grp )
49	21, 27	mulgcl 13789	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( y .x. X ) e. B )
50	48, 41, 42, 49	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( y .x. X ) e. B )
51		simpl2 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> Y e. B )
52	21, 43, 22	ringdir 14096	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( ( y .x. X ) e. B /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
53	37, 50, 42, 51, 52	syl13anc 1276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) ( +g ` R ) X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
54	46, 53	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
55	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( X .X. Y ) e. B )
56	21, 27, 43	mulgp1 13805	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
57	39, 41, 55, 56	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) )
58	54, 57	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) = ( ( y .x. ( X .X. Y ) ) ( +g ` R ) ( X .X. Y ) ) ) )
59	36, 58	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN0 ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) )
60	59	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN0 -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( ( y + 1 ) .x. X ) .X. Y ) = ( ( y + 1 ) .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
61		fveq2 5648	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Grp )
63		nnz 9542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
64	63	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> y e. ZZ )
65	26	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> X e. B )
66		eqid 2231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` R ) = ( invg ` R )
67	21, 27, 66	mulgneg 13790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ X e. B ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
68	62, 64, 65, 67	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. X ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) )
69	68	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) )
70		simpl1 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> R e. Ring )
71	62, 64, 65, 49	syl3anc 1274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( y .x. X ) e. B )
72		simpl2 1028	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> Y e. B )
73	21, 22, 66, 70, 71, 72	ringmneg1 14130	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( invg ` R ) ` ( y .x. X ) ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
74	69, 73	eqtrd 2264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) )
75	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( X .X. Y ) e. B )
76	21, 27, 66	mulgneg 13790	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ y e. ZZ /\ ( X .X. Y ) e. B ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
77	62, 64, 75, 76	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
78	74, 77	eqeq12d 2246	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) <-> ( ( invg ` R ) ` ( ( y .x. X ) .X. Y ) ) = ( ( invg ` R ) ` ( y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
79	61, 78	imbitrrid 156	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) /\ y e. NN ) -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) )
80	79	ex 115	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( y e. NN -> ( ( ( y .x. X ) .X. Y ) = ( y .x. ( X .X. Y ) ) -> ( ( -u y .x. X ) .X. Y ) = ( -u y .x. ( X .X. Y ) ) ) ) )
81	4, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80	zindd 9642	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. B /\ X e. B ) -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) )
82	81	3exp 1229	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( Y e. B -> ( X e. B -> ( N e. ZZ -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
83	82	com24 87	. 2 |- ( R e. Ring -> ( N e. ZZ -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) ) ) ) )
84	83	3imp2 1249	1 |- ( ( R e. Ring /\ ( N e. ZZ /\ X e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( N .x. X ) .X. Y ) = ( N .x. ( X .X. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   -ucneg 8393   NNcn 9185   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224   0gc0g 13402   Grpcgrp 13646   invgcminusg 13647  ._gcmg 13769   Ringcrg 14073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-seqfrec 10756  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-mulg 13770  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075

This theorem is referenced by:  mulgass3  14162  mulgrhm  14688