Theorem ringidcl 14164

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringidcl.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	|- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 14146	. . 3 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
4		eqid 2232	. . . 4 |- ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
5	3, 4	mndidcl 13643	. . 3 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7		ringidcl.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
8	1, 7	ringidvalg 14105	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10	1, 9	mgpbasg 14070	. 2 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11	6, 8, 10	3eltr4d 2316	1 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352   Basecbs 13212   0gc0g 13469   Mndcmnd 13629  mulGrpcmgp 14064   1rcur 14103   Ringcrg 14140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-mgp 14065  df-ur 14104  df-ring 14142

This theorem is referenced by:  ringid  14170  ringo2times  14172  ringcom  14175  ringnegl  14195  ringnegr  14196  ringmneg1  14197  ringmneg2  14198  ringressid  14207  imasring  14208  opprring  14223  dvdsrid  14245  dvdsrneg  14248  1unit  14252  ringinvdv  14290  elrhmunit  14322  isnzr2  14329  subrgid  14368  rrgnz  14414  aprlring  14434  lmod1cl  14463  lmodvsneg  14479  lmodsubvs  14491  lmodsubdi  14492  lmodsubdir  14493  lmodprop2d  14496  rmodislmod  14499  lssvnegcl  14524  mulgrhm  14757  zrhmulg  14768  psr1clfi  14843