Theorem ringidcl 14263

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringidcl.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	|- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 14245	. . 3 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3		eqid 2234	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
5	3, 4	mndidcl 13691	. . 3 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7		ringidcl.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
8	1, 7	ringidvalg 14204	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10	1, 9	mgpbasg 14165	. 2 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11	6, 8, 10	3eltr4d 2318	1 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5357   Basecbs 13296   0gc0g 13553   Mndcmnd 13677  mulGrpcmgp 14159   1rcur 14202   Ringcrg 14239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-ltxr 8329  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-sets 13303  df-plusg 13387  df-mulr 13388  df-0g 13555  df-mgm 13619  df-sgrp 13665  df-mnd 13678  df-mgp 14160  df-ur 14203  df-ring 14241

This theorem is referenced by:  ringid  14269  ringo2times  14271  ringcom  14274  ringnegl  14294  ringnegr  14295  ringmneg1  14296  ringmneg2  14297  ringressid  14306  imasring  14307  opprring  14322  opprringb  14324  dvdsrid  14345  dvdsrneg  14348  1unit  14352  ringinvdv  14390  elrhmunit  14422  isnzr2  14429  subrgid  14469  rrgnz  14515  aprlring  14538  lmod1cl  14589  lmodvsneg  14605  lmodsubvs  14617  lmodsubdi  14618  lmodsubdir  14619  lmodprop2d  14622  rmodislmod  14625  lssvnegcl  14650  mulgrhm  14883  zrhmulg  14894  psr1clfi  14969