Theorem ringidcl 14020

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringidcl.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	|- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 14002	. . 3 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
5	3, 4	mndidcl 13500	. . 3 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7		ringidcl.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
8	1, 7	ringidvalg 13961	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10	1, 9	mgpbasg 13926	. 2 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11	6, 8, 10	3eltr4d 2313	1 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5322   Basecbs 13069   0gc0g 13326   Mndcmnd 13486  mulGrpcmgp 13920   1rcur 13959   Ringcrg 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-fv 5330  df-riota 5964  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-sets 13076  df-plusg 13160  df-mulr 13161  df-0g 13328  df-mgm 13426  df-sgrp 13472  df-mnd 13487  df-mgp 13921  df-ur 13960  df-ring 13998

This theorem is referenced by:  ringid  14026  ringo2times  14028  ringcom  14031  ringnegl  14051  ringnegr  14052  ringmneg1  14053  ringmneg2  14054  ringressid  14063  imasring  14064  opprring  14079  dvdsrid  14101  dvdsrneg  14104  1unit  14108  ringinvdv  14146  elrhmunit  14178  isnzr2  14185  subrgid  14224  rrgnz  14269  lmod1cl  14316  lmodvsneg  14332  lmodsubvs  14344  lmodsubdi  14345  lmodsubdir  14346  lmodprop2d  14349  rmodislmod  14352  lssvnegcl  14377  mulgrhm  14610  zrhmulg  14621  psr1clfi  14689