Theorem ringidcl 14298

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringidcl.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	|- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 14280	. . 3 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
5	3, 4	mndidcl 13720	. . 3 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7		ringidcl.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
8	1, 7	ringidvalg 14239	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10	1, 9	mgpbasg 14200	. 2 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11	6, 8, 10	3eltr4d 2322	1 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5372   Basecbs 13330   0gc0g 13587   Mndcmnd 13706  mulGrpcmgp 14194   1rcur 14237   Ringcrg 14274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-mgp 14195  df-ur 14238  df-ring 14276

This theorem is referenced by:  ringid  14304  ringo2times  14306  ringcom  14309  ringnegl  14329  ringnegr  14330  ringmneg1  14331  ringmneg2  14332  ringressid  14341  imasring  14342  opprring  14357  opprringb  14359  dvdsrid  14380  dvdsrneg  14383  1unit  14387  ringinvdv  14425  elrhmunit  14457  isnzr2  14464  subrgid  14504  rrgnz  14550  aprlring  14573  lmod1cl  14624  lmodvsneg  14640  lmodsubvs  14652  lmodsubdi  14653  lmodsubdir  14654  lmodprop2d  14657  rmodislmod  14660  lssvnegcl  14685  mulgrhm  14916  zrhmulg  14927  psr1clfi  15002