Theorem ringidcl 14023

Description: The unity element of a ring belongs to the base set of the ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidcl.b	|- B = ( Base ` R )
ringidcl.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringidcl	|- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Proof of Theorem ringidcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
2	1	ringmgp 14005	. . 3 |- ( R e. Ring -> (mulGrp ` R ) e. Mnd )
3		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` (mulGrp ` R ) ) = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
4		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) = ( 0g ` (mulGrp ` R ) )
5	3, 4	mndidcl 13503	. . 3 |- ( (mulGrp ` R ) e. Mnd -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) e. ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
7		ringidcl.u	. . 3 |- .1. = ( 1r ` R )
8	1, 7	ringidvalg 13964	. 2 |- ( R e. Ring -> .1. = ( 0g ` (mulGrp ` R ) ) )
9		ringidcl.b	. . 3 |- B = ( Base ` R )
10	1, 9	mgpbasg 13929	. 2 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (mulGrp ` R ) ) )
11	6, 8, 10	3eltr4d 2313	1 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5324   Basecbs 13072   0gc0g 13329   Mndcmnd 13489  mulGrpcmgp 13923   1rcur 13962   Ringcrg 13999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001

This theorem is referenced by:  ringid  14029  ringo2times  14031  ringcom  14034  ringnegl  14054  ringnegr  14055  ringmneg1  14056  ringmneg2  14057  ringressid  14066  imasring  14067  opprring  14082  dvdsrid  14104  dvdsrneg  14107  1unit  14111  ringinvdv  14149  elrhmunit  14181  isnzr2  14188  subrgid  14227  rrgnz  14272  lmod1cl  14319  lmodvsneg  14335  lmodsubvs  14347  lmodsubdi  14348  lmodsubdir  14349  lmodprop2d  14352  rmodislmod  14355  lssvnegcl  14380  mulgrhm  14613  zrhmulg  14624  psr1clfi  14692