Theorem ringo2times 13275

Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringadd2.b	|- B = ( Base ` R )
ringadd2.p	|- .+ = ( +g ` R )
ringadd2.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringo2times.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringo2times	|- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( A .+ A ) = ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) )

Proof of Theorem ringo2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringadd2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
2		ringadd2.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
3		ringo2times.u	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	ringlidm 13270	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( .1. .x. A ) = A )
5	4	eqcomd 2193	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> A = ( .1. .x. A ) )
6	5, 5	oveq12d 5906	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( A .+ A ) = ( ( .1. .x. A ) .+ ( .1. .x. A ) ) )
7		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> R e. Ring )
8	1, 3	ringidcl 13267	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> .1. e. B )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> A e. B )
11		ringadd2.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
12	1, 11, 2	ringdir 13266	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( .1. e. B /\ .1. e. B /\ A e. B ) ) -> ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) = ( ( .1. .x. A ) .+ ( .1. .x. A ) ) )
13	7, 9, 9, 10, 12	syl13anc 1250	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) = ( ( .1. .x. A ) .+ ( .1. .x. A ) ) )
14	6, 13	eqtr4d 2223	1 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( A .+ A ) = ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   .rcmulr 12551   1rcur 13206   Ringcrg 13243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12839  df-mgp 13171  df-ur 13207  df-ring 13245

This theorem is referenced by: (None)