Theorem ringo2times 13399

Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unity element with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringadd2.b	|- B = ( Base ` R )
ringadd2.p	|- .+ = ( +g ` R )
ringadd2.t	|- .x. = ( .r ` R )
ringo2times.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
ringo2times	|- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( A .+ A ) = ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) )

Proof of Theorem ringo2times

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringadd2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
2		ringadd2.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
3		ringo2times.u	. . . . 5 |- .1. = ( 1r ` R )
4	1, 2, 3	ringlidm 13394	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( .1. .x. A ) = A )
5	4	eqcomd 2195	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> A = ( .1. .x. A ) )
6	5, 5	oveq12d 5915	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( A .+ A ) = ( ( .1. .x. A ) .+ ( .1. .x. A ) ) )
7		simpl 109	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> R e. Ring )
8	1, 3	ringidcl 13391	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .1. e. B )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> .1. e. B )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> A e. B )
11		ringadd2.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
12	1, 11, 2	ringdir 13390	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( .1. e. B /\ .1. e. B /\ A e. B ) ) -> ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) = ( ( .1. .x. A ) .+ ( .1. .x. A ) ) )
13	7, 9, 9, 10, 12	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) = ( ( .1. .x. A ) .+ ( .1. .x. A ) ) )
14	6, 13	eqtr4d 2225	1 |- ( ( R e. Ring /\ A e. B ) -> ( A .+ A ) = ( ( .1. .+ .1. ) .x. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   Basecbs 12515   +g cplusg 12592   .rcmulr 12593   1rcur 13330   Ringcrg 13367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369

This theorem is referenced by: (None)