Theorem lediv12ad 10089

Description: Comparison of ratio of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1d.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltmul1d.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltmul1d.3	|- ( ph -> C e. RR+ )
lediv12ad.4	|- ( ph -> D e. RR )
lediv12ad.5	|- ( ph -> 0 <_ A )
lediv12ad.6	|- ( ph -> A <_ B )
lediv12ad.7	|- ( ph -> C <_ D )

Assertion

Ref	Expression
lediv12ad	|- ( ph -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )

Proof of Theorem lediv12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1d.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltmul1d.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
3	1, 2	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR ) )
4		lediv12ad.5	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ A )
5		lediv12ad.6	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
6	4, 5	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( 0 <_ A /\ A <_ B ) )
7		ltmul1d.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR+ )
8	7	rpred 10029	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
9		lediv12ad.4	. . 3 |- ( ph -> D e. RR )
10	8, 9	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( C e. RR /\ D e. RR ) )
11	7	rpgt0d 10032	. . 3 |- ( ph -> 0 < C )
12		lediv12ad.7	. . 3 |- ( ph -> C <_ D )
13	11, 12	jca 306	. 2 |- ( ph -> ( 0 < C /\ C <_ D ) )
14		lediv12a 9168	. 2 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ ( ( C e. RR /\ D e. RR ) /\ ( 0 < C /\ C <_ D ) ) ) -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )
15	3, 6, 10, 13, 14	syl22anc 1275	1 |- ( ph -> ( A / D ) <_ ( B / C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   RRcr 8126   0cc0 8127   < clt 8308   <_ cle 8309   / cdiv 8946   RR+crp 9986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-rp 9987

This theorem is referenced by: (None)