Theorem mulc1cncf 15580

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	|- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	|- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables u t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8270	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A x. x ) e. CC )
2		mulc1cncf.1	. . 3 |- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )
3	1, 2	fmptd 5836	. 2 |- ( A e. CC -> F : CC --> CC )
4		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
5		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> A e. CC )
6		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> y e. CC )
7		mulcn2 12022	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ /\ A e. CC /\ y e. CC ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
9		fvoveq1 6081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( abs ` ( v - A ) ) = ( abs ` ( A - A ) ) )
10	9	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < t <-> ( abs ` ( A - A ) ) < t ) )
11	10	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
12		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( v x. u ) = ( A x. u ) )
13	12	fvoveq1d 6080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
14	13	breq1d 4124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = A -> ( ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
16	15	ralbidv 2544	. . . . . . . . . 10 |- ( v = A -> ( A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
17	16	rspcv 2919	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
19		subid 8508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( A - A ) = 0 )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A - A ) = 0 )
21	20	abs00bd 11776	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
22		simprll 539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> t e. RR+ )
23	22	rpgt0d 10050	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> 0 < t )
24	21, 23	eqbrtrd 4136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) < t )
25	24	biantrurd 305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - y ) ) < w <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
26		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> u e. CC )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> A e. CC )
28	27, 26	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. u ) e. CC )
29		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( A x. x ) = ( A x. u ) )
30	29, 2	fvmptg 5758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. CC /\ ( A x. u ) e. CC ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
31	26, 28, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
32		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> y e. CC )
33	27, 32	mulcld 8310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
34		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
35	34, 2	fvmptg 5758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ ( A x. y ) e. CC ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
36	32, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
37	31, 36	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) = ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) )
38	37	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
39	38	breq1d 4124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
40	25, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
41	40	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) /\ u e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
42	41	ralbidva 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
43	18, 42	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
44	43	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) /\ w e. RR+ ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
45	44	reximdva 2646	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) -> ( E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
46	45	rexlimdva 2662	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> ( E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
47	8, 46	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
48	47	ralrimivva 2626	. 2 |- ( A e. CC -> A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
49		ssid 3262	. . 3 |- CC C_ CC
50		elcncf2 15565	. . 3 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) ) )
51	49, 49, 50	mp2an 426	. 2 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
52	3, 48, 51	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   C_ wss 3214   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   x. cmul 8148   < clt 8324   - cmin 8460   RR+crp 10004   abscabs 11707   -cn->ccncf 15561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-cncf 15562

This theorem is referenced by:  divccncfap  15581  cdivcncfap  15595  sincn  15760  coscn  15761