Theorem mulc1cncf 14825

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	|- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	|- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables u t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8006	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A x. x ) e. CC )
2		mulc1cncf.1	. . 3 |- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )
3	1, 2	fmptd 5716	. 2 |- ( A e. CC -> F : CC --> CC )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
5		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> A e. CC )
6		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> y e. CC )
7		mulcn2 11477	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ /\ A e. CC /\ y e. CC ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
9		fvoveq1 5945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( abs ` ( v - A ) ) = ( abs ` ( A - A ) ) )
10	9	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < t <-> ( abs ` ( A - A ) ) < t ) )
11	10	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
12		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( v x. u ) = ( A x. u ) )
13	12	fvoveq1d 5944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
14	13	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = A -> ( ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
16	15	ralbidv 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( v = A -> ( A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
17	16	rspcv 2864	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
19		subid 8245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( A - A ) = 0 )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A - A ) = 0 )
21	20	abs00bd 11231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
22		simprll 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> t e. RR+ )
23	22	rpgt0d 9774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> 0 < t )
24	21, 23	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) < t )
25	24	biantrurd 305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - y ) ) < w <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
26		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> u e. CC )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> A e. CC )
28	27, 26	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. u ) e. CC )
29		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( A x. x ) = ( A x. u ) )
30	29, 2	fvmptg 5637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. CC /\ ( A x. u ) e. CC ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
31	26, 28, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
32		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> y e. CC )
33	27, 32	mulcld 8047	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
34		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
35	34, 2	fvmptg 5637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ ( A x. y ) e. CC ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
36	32, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
37	31, 36	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) = ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) )
38	37	fveq2d 5562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
39	38	breq1d 4043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
40	25, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
41	40	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) /\ u e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
42	41	ralbidva 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
43	18, 42	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
44	43	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) /\ w e. RR+ ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
45	44	reximdva 2599	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) -> ( E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
46	45	rexlimdva 2614	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> ( E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
47	8, 46	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
48	47	ralrimivva 2579	. 2 |- ( A e. CC -> A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
49		ssid 3203	. . 3 |- CC C_ CC
50		elcncf2 14810	. . 3 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) ) )
51	49, 49, 50	mp2an 426	. 2 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
52	3, 48, 51	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   x. cmul 7884   < clt 8061   - cmin 8197   RR+crp 9728   abscabs 11162   -cn->ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-cncf 14807

This theorem is referenced by:  divccncfap  14826  cdivcncfap  14840  sincn  15005  coscn  15006