Theorem mulc1cncf 13370

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	|- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	|- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables u t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 7901	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A x. x ) e. CC )
2		mulc1cncf.1	. . 3 |- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )
3	1, 2	fmptd 5650	. 2 |- ( A e. CC -> F : CC --> CC )
4		simprr 527	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
5		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> A e. CC )
6		simprl 526	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> y e. CC )
7		mulcn2 11275	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ /\ A e. CC /\ y e. CC ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
9		fvoveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( abs ` ( v - A ) ) = ( abs ` ( A - A ) ) )
10	9	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < t <-> ( abs ` ( A - A ) ) < t ) )
11	10	anbi1d 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
12		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( v x. u ) = ( A x. u ) )
13	12	fvoveq1d 5875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
14	13	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
15	11, 14	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = A -> ( ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
16	15	ralbidv 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( v = A -> ( A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
17	16	rspcv 2830	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
18	17	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
19		subid 8138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( A - A ) = 0 )
20	19	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A - A ) = 0 )
21	20	abs00bd 11030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
22		simprll 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> t e. RR+ )
23	22	rpgt0d 9656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> 0 < t )
24	21, 23	eqbrtrd 4011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) < t )
25	24	biantrurd 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - y ) ) < w <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
26		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> u e. CC )
27		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> A e. CC )
28	27, 26	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. u ) e. CC )
29		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( A x. x ) = ( A x. u ) )
30	29, 2	fvmptg 5572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. CC /\ ( A x. u ) e. CC ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
31	26, 28, 30	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
32		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> y e. CC )
33	27, 32	mulcld 7940	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
34		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
35	34, 2	fvmptg 5572	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ ( A x. y ) e. CC ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
36	32, 33, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
37	31, 36	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) = ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) )
38	37	fveq2d 5500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
39	38	breq1d 3999	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
40	25, 39	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
41	40	anassrs 398	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) /\ u e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
42	41	ralbidva 2466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
43	18, 42	sylibrd 168	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
44	43	anassrs 398	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) /\ w e. RR+ ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
45	44	reximdva 2572	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) -> ( E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
46	45	rexlimdva 2587	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> ( E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
47	8, 46	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
48	47	ralrimivva 2552	. 2 |- ( A e. CC -> A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
49		ssid 3167	. . 3 |- CC C_ CC
50		elcncf2 13355	. . 3 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) ) )
51	49, 49, 50	mp2an 424	. 2 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
52	3, 48, 51	sylanbrc 415	1 |- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   x. cmul 7779   < clt 7954   - cmin 8090   RR+crp 9610   abscabs 10961   -cn->ccncf 13351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-map 6628  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-cncf 13352

This theorem is referenced by:  divccncfap  13371  cdivcncfap  13381  sincn  13484  coscn  13485