Theorem mulc1cncf 14979

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	|- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	|- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem mulc1cncf

Dummy variables u t v w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcl 8034	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. CC ) -> ( A x. x ) e. CC )
2		mulc1cncf.1	. . 3 |- F = ( x e. CC |-> ( A x. x ) )
3	1, 2	fmptd 5728	. 2 |- ( A e. CC -> F : CC --> CC )
4		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> z e. RR+ )
5		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> A e. CC )
6		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> y e. CC )
7		mulcn2 11542	. . . . 5 |- ( ( z e. RR+ /\ A e. CC /\ y e. CC ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
9		fvoveq1 5957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( abs ` ( v - A ) ) = ( abs ` ( A - A ) ) )
10	9	breq1d 4053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( v - A ) ) < t <-> ( abs ` ( A - A ) ) < t ) )
11	10	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
12		oveq1 5941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = A -> ( v x. u ) = ( A x. u ) )
13	12	fvoveq1d 5956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = A -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
14	13	breq1d 4053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = A -> ( ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
15	11, 14	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = A -> ( ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
16	15	ralbidv 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( v = A -> ( A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
17	16	rspcv 2872	. . . . . . . . 9 |- ( A e. CC -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
19		subid 8273	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( A - A ) = 0 )
20	19	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A - A ) = 0 )
21	20	abs00bd 11296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) = 0 )
22		simprll 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> t e. RR+ )
23	22	rpgt0d 9803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> 0 < t )
24	21, 23	eqbrtrd 4065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( A - A ) ) < t )
25	24	biantrurd 305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( u - y ) ) < w <-> ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) ) )
26		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> u e. CC )
27		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> A e. CC )
28	27, 26	mulcld 8075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. u ) e. CC )
29		oveq2 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = u -> ( A x. x ) = ( A x. u ) )
30	29, 2	fvmptg 5649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. CC /\ ( A x. u ) e. CC ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
31	26, 28, 30	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` u ) = ( A x. u ) )
32		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> y e. CC )
33	27, 32	mulcld 8075	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
34		oveq2 5942	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = y -> ( A x. x ) = ( A x. y ) )
35	34, 2	fvmptg 5649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. CC /\ ( A x. y ) e. CC ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
36	32, 33, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( F ` y ) = ( A x. y ) )
37	31, 36	oveq12d 5952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) = ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) )
38	37	fveq2d 5574	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) = ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) )
39	38	breq1d 4053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z <-> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) )
40	25, 39	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) /\ u e. CC ) ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
41	40	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) /\ u e. CC ) -> ( ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
42	41	ralbidva 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) <-> A. u e. CC ( ( ( abs ` ( A - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( A x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) ) )
43	18, 42	sylibrd 169	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ ( t e. RR+ /\ w e. RR+ ) ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
44	43	anassrs 400	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) /\ w e. RR+ ) -> ( A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
45	44	reximdva 2607	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) /\ t e. RR+ ) -> ( E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
46	45	rexlimdva 2622	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> ( E. t e. RR+ E. w e. RR+ A. v e. CC A. u e. CC ( ( ( abs ` ( v - A ) ) < t /\ ( abs ` ( u - y ) ) < w ) -> ( abs ` ( ( v x. u ) - ( A x. y ) ) ) < z ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
47	8, 46	mpd 13	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. CC /\ z e. RR+ ) ) -> E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
48	47	ralrimivva 2587	. 2 |- ( A e. CC -> A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) )
49		ssid 3212	. . 3 |- CC C_ CC
50		elcncf2 14964	. . 3 |- ( ( CC C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) ) )
51	49, 49, 50	mp2an 426	. 2 |- ( F e. ( CC -cn-> CC ) <-> ( F : CC --> CC /\ A. y e. CC A. z e. RR+ E. w e. RR+ A. u e. CC ( ( abs ` ( u - y ) ) < w -> ( abs ` ( ( F ` u ) - ( F ` y ) ) ) < z ) ) )
52	3, 48, 51	sylanbrc 417	1 |- ( A e. CC -> F e. ( CC -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   C_ wss 3165   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   -->wf 5264   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   CCcc 7905   0cc0 7907   x. cmul 7912   < clt 8089   - cmin 8225   RR+crp 9757   abscabs 11227   -cn->ccncf 14960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-map 6727  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-rp 9758  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-cncf 14961

This theorem is referenced by:  divccncfap  14980  cdivcncfap  14994  sincn  15159  coscn  15160