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Theorem mulc1cncf 14429
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) )
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables  u  t  v  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 7952 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  x.  x
)  e.  CC )
2 mulc1cncf.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) )
31, 2fmptd 5683 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  F : CC --> CC )
4 simprr 531 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  z  e.  RR+ )
5 simpl 109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  A  e.  CC )
6 simprl 529 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  CC )
7 mulcn2 11334 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) )
84, 5, 6, 7syl3anc 1248 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) )
9 fvoveq1 5911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  A  ->  ( abs `  ( v  -  A ) )  =  ( abs `  ( A  -  A )
) )
109breq1d 4025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  (
( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  <->  ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t
) )
1110anbi1d 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  <->  ( ( abs `  ( A  -  A ) )  < 
t  /\  ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w
) ) )
12 oveq1 5895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  A  ->  (
v  x.  u )  =  ( A  x.  u ) )
1312fvoveq1d 5910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) ) )
1413breq1d 4025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  (
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) )  <  z
) )
1511, 14imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( ( abs `  ( v  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
1615ralbidv 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  A  ->  ( A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  <->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
1716rspcv 2849 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
1817ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
19 subid 8190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  A )  =  0 )
2019ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( A  -  A
)  =  0 )
2120abs00bd 11089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  ( A  -  A )
)  =  0 )
22 simprll 537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
t  e.  RR+ )
2322rpgt0d 9713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
0  <  t )
2421, 23eqbrtrd 4037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  ( A  -  A )
)  <  t )
2524biantrurd 305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  <->  ( ( abs `  ( A  -  A ) )  < 
t  /\  ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w
) ) )
26 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
27 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
2827, 26mulcld 7992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  u
)  e.  CC )
29 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
3029, 2fvmptg 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  CC  /\  ( A  x.  u
)  e.  CC )  ->  ( F `  u )  =  ( A  x.  u ) )
3126, 28, 30syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( F `  u
)  =  ( A  x.  u ) )
32 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
y  e.  CC )
3327, 32mulcld 7992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( A  x.  y
)  e.  CC )
34 oveq2 5896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
3534, 2fvmptg 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  CC  /\  ( A  x.  y
)  e.  CC )  ->  ( F `  y )  =  ( A  x.  y ) )
3632, 33, 35syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( A  x.  y ) )
3731, 36oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  u )  -  ( F `  y )
)  =  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y ) ) )
3837fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) ) )
3938breq1d 4025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) )  <  z
) )
4025, 39imbi12d 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4140anassrs 400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4241ralbidva 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4318, 42sylibrd 169 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4443anassrs 400 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  t  e.  RR+ )  /\  w  e.  RR+ )  -> 
( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4544reximdva 2589 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4645rexlimdva 2604 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
478, 46mpd 13 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) )
4847ralrimivva 2569 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) )
49 ssid 3187 . . 3  |-  CC  C_  CC
50 elcncf2 14414 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  <->  ( F : CC
--> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) ) )
5149, 49, 50mp2an 426 . 2  |-  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  <->  ( F : CC
--> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
523, 48, 51sylanbrc 417 1  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466    C_ wss 3141   class class class wbr 4015    |-> cmpt 4076   -->wf 5224   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   CCcc 7823   0cc0 7825    x. cmul 7830    < clt 8006    - cmin 8142   RR+crp 9667   abscabs 11020   -cn->ccncf 14410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-frec 6406  df-map 6664  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-rp 9668  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-cncf 14411
This theorem is referenced by:  divccncfap  14430  cdivcncfap  14440  sincn  14543  coscn  14544
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