Theorem resqrexlemglsq 11662

Description: Lemma for resqrex 11666. The sequence formed by squaring each term of F converges to ( L ^ 2 ). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemglsq	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, j, k, i, y, z   x, F, k   e, L, j, k, i, y, z   ph, e, i, j, k, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, e, i, j, k)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x)

Proof of Theorem resqrexlemglsq

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L + f ) = ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
2	1	breq2d 4105	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) < ( L + f ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
3		oveq2 6036	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + f ) = ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
4	3	breq2d 4105	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L < ( ( F ` k ) + f ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2559	. . . 4 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
9	8	breq1d 4103	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + e ) ) )
10	8	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` k ) + e ) )
11	10	breq2d 4105	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) ) )
13	12	cbvralv 2768	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
14	13	rexbii 2540	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
15	14	ralbii 2539	. . . . . . 7 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
16	7, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
17		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( L + e ) = ( L + f ) )
18	17	breq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + f ) ) )
19		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` k ) + f ) )
20	19	breq2d 4105	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( L < ( ( F ` k ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2559	. . . . . . 7 |- ( e = f -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
23	22	cbvralv 2768	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
24	16, 23	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
25	24	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
26		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
30	27, 28, 29	resqrexlemf 11647	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
32		1nn 9213	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
34	31, 33	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9992	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> L e. RR )
38	35, 37	readdcld 8268	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
39	34	rpgt0d 9995	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( F ` 1 ) )
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 11660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ L )
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 <_ L )
42		addgtge0 8689	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` 1 ) e. RR /\ L e. RR ) /\ ( 0 < ( F ` 1 ) /\ 0 <_ L ) ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
44	38, 43	elrpd 9989	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
45	26, 44	rpdivcld 10010	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
46	6, 25, 45	rspcdva 2916	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
47		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> j e. NN )
48		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
49		eluznn 9895	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. NN )
51	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
52	51, 50	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53		2z 9568	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
55	52, 54	rpexpcld 11022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
56		fveq2 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
57	56	oveq1d 6043	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
59	57, 58	fvmptg 5731	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
60	50, 55, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
61	52	rpred 9992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	61	recnd 8267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
63	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. RR )
64	63	recnd 8267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. CC )
65		subsq 10971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
66	62, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
67	61, 63	readdcld 8268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) e. RR )
68	61, 63	resubcld 8619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) e. RR )
69	67, 68	remulcld 8269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
70	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
71	70, 68	remulcld 8269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
72	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR+ )
73	72	rpred 9992	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR )
74	28	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A e. RR )
75	29	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ A )
76	7	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 11661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L <_ ( F ` k ) )
78	61, 63	subge0d 8774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) <-> L <_ ( F ` k ) ) )
79	77, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) )
80		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
81	80	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) )
82		eqle 8330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` k ) + L ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
83	67, 81, 82	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
84	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
85	35	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
86	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> L e. RR )
87	28	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> A e. RR )
88	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 0 <_ A )
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 e. NN )
90	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> k e. NN )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 < k )
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 11652	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` 1 ) )
93	84, 85, 92	ltled 8357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` 1 ) )
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8798	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
95		nn1gt1 9236	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
97	83, 94, 96	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 9178	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) <_ ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
99		simprl 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
100	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
101	100	rpred 9992	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR )
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8782	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
103	99, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) )
104	44	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e <-> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 8363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
108	66, 107	eqbrtrd 4115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e )
109	61	resqcld 11024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
110	63	resqcld 11024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) e. RR )
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8782	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) ) )
112	108, 111	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
113	60, 112	eqbrtrd 4115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
114	60, 109	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
115	114, 73	readdcld 8268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
116	41	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ L )
117		le2sq2 10940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. RR /\ 0 <_ L ) /\ ( ( F ` k ) e. RR /\ L <_ ( F ` k ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
119	118, 60	breqtrrd 4121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( G ` k ) )
120	114, 72	ltaddrpd 10026	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 8363	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) )
122	113, 121	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
123	122	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
124	123	ralimdva 2600	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
125	124	reximdva 2635	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
126	46, 125	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
127	126	ralrimiva 2606	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {csn 3673   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   X. cxp 4729   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   + caddc 8095   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   - cmin 8409   / cdiv 8911   NNcn 9202   2c2 9253   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   RR+crp 9949   seqcseq 10772   ^cexp 10863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11664