Theorem resqrexlemglsq 11573

Description: Lemma for resqrex 11577. The sequence formed by squaring each term of F converges to ( L ^ 2 ). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemglsq	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, j, k, i, y, z   x, F, k   e, L, j, k, i, y, z   ph, e, i, j, k, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, e, i, j, k)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x)

Proof of Theorem resqrexlemglsq

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6021	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L + f ) = ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
2	1	breq2d 4098	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) < ( L + f ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
3		oveq2 6021	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + f ) = ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
4	3	breq2d 4098	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L < ( ( F ` k ) + f ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2556	. . . 4 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
9	8	breq1d 4096	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + e ) ) )
10	8	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` k ) + e ) )
11	10	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) ) )
13	12	cbvralv 2765	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
14	13	rexbii 2537	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
15	14	ralbii 2536	. . . . . . 7 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
16	7, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
17		oveq2 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( L + e ) = ( L + f ) )
18	17	breq2d 4098	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + f ) ) )
19		oveq2 6021	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` k ) + f ) )
20	19	breq2d 4098	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( L < ( ( F ` k ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2556	. . . . . . 7 |- ( e = f -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
23	22	cbvralv 2765	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
24	16, 23	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
25	24	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
26		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
30	27, 28, 29	resqrexlemf 11558	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
32		1nn 9144	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
34	31, 33	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9921	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> L e. RR )
38	35, 37	readdcld 8199	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
39	34	rpgt0d 9924	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( F ` 1 ) )
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 11571	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ L )
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 <_ L )
42		addgtge0 8620	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` 1 ) e. RR /\ L e. RR ) /\ ( 0 < ( F ` 1 ) /\ 0 <_ L ) ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
44	38, 43	elrpd 9918	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
45	26, 44	rpdivcld 9939	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
46	6, 25, 45	rspcdva 2913	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
47		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> j e. NN )
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
49		eluznn 9824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. NN )
51	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
52	51, 50	ffvelcdmd 5779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53		2z 9497	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
55	52, 54	rpexpcld 10949	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
56		fveq2 5635	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
57	56	oveq1d 6028	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
59	57, 58	fvmptg 5718	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
60	50, 55, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
61	52	rpred 9921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	61	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
63	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. RR )
64	63	recnd 8198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. CC )
65		subsq 10898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
66	62, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
67	61, 63	readdcld 8199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) e. RR )
68	61, 63	resubcld 8550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) e. RR )
69	67, 68	remulcld 8200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
70	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
71	70, 68	remulcld 8200	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
72	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR+ )
73	72	rpred 9921	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR )
74	28	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A e. RR )
75	29	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ A )
76	7	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 11572	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L <_ ( F ` k ) )
78	61, 63	subge0d 8705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) <-> L <_ ( F ` k ) ) )
79	77, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) )
80		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
81	80	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) )
82		eqle 8261	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` k ) + L ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
83	67, 81, 82	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
84	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
85	35	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
86	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> L e. RR )
87	28	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> A e. RR )
88	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 0 <_ A )
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 e. NN )
90	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> k e. NN )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 < k )
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 11563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` 1 ) )
93	84, 85, 92	ltled 8288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` 1 ) )
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
95		nn1gt1 9167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
97	83, 94, 96	mpjaodan 803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 9109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) <_ ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
99		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
100	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
101	100	rpred 9921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR )
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
103	99, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) )
104	44	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 9970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e <-> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 8294	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
108	66, 107	eqbrtrd 4108	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e )
109	61	resqcld 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
110	63	resqcld 10951	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) e. RR )
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8713	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) ) )
112	108, 111	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
113	60, 112	eqbrtrd 4108	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
114	60, 109	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
115	114, 73	readdcld 8199	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
116	41	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ L )
117		le2sq2 10867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. RR /\ 0 <_ L ) /\ ( ( F ` k ) e. RR /\ L <_ ( F ` k ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
119	118, 60	breqtrrd 4114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( G ` k ) )
120	114, 72	ltaddrpd 9955	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 8294	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) )
122	113, 121	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
123	122	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
124	123	ralimdva 2597	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
125	124	reximdva 2632	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
126	46, 125	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
127	126	ralrimiva 2603	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   {csn 3667   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   X. cxp 4721   -->wf 5320   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   < clt 8204   <_ cle 8205   - cmin 8340   / cdiv 8842   NNcn 9133   2c2 9184   ZZcz 9469   ZZ>=cuz 9745   RR+crp 9878   seqcseq 10699   ^cexp 10790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-rp 9879  df-seqfrec 10700  df-exp 10791

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11575