Theorem resqrexlemglsq 11015

Description: Lemma for resqrex 11019. The sequence formed by squaring each term of F converges to ( L ^ 2 ). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemglsq	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, j, k, i, y, z   x, F, k   e, L, j, k, i, y, z   ph, e, i, j, k, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, e, i, j, k)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x)

Proof of Theorem resqrexlemglsq

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L + f ) = ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
2	1	breq2d 4012	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) < ( L + f ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
3		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + f ) = ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
4	3	breq2d 4012	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L < ( ( F ` k ) + f ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2503	. . . 4 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
9	8	breq1d 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + e ) ) )
10	8	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` k ) + e ) )
11	10	breq2d 4012	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) ) )
13	12	cbvralv 2703	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
14	13	rexbii 2484	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
15	14	ralbii 2483	. . . . . . 7 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
16	7, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
17		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( L + e ) = ( L + f ) )
18	17	breq2d 4012	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + f ) ) )
19		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` k ) + f ) )
20	19	breq2d 4012	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( L < ( ( F ` k ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2503	. . . . . . 7 |- ( e = f -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
23	22	cbvralv 2703	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
24	16, 23	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
25	24	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
26		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
30	27, 28, 29	resqrexlemf 11000	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
32		1nn 8919	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
34	31, 33	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9683	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> L e. RR )
38	35, 37	readdcld 7977	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
39	34	rpgt0d 9686	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( F ` 1 ) )
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 11013	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ L )
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 <_ L )
42		addgtge0 8397	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` 1 ) e. RR /\ L e. RR ) /\ ( 0 < ( F ` 1 ) /\ 0 <_ L ) ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1239	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
44	38, 43	elrpd 9680	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
45	26, 44	rpdivcld 9701	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
46	6, 25, 45	rspcdva 2846	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
47		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> j e. NN )
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
49		eluznn 9589	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. NN )
51	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
52	51, 50	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53		2z 9270	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
55	52, 54	rpexpcld 10663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
56		fveq2 5511	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
57	56	oveq1d 5884	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
59	57, 58	fvmptg 5588	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
60	50, 55, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
61	52	rpred 9683	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	61	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
63	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. RR )
64	63	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. CC )
65		subsq 10612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
66	62, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
67	61, 63	readdcld 7977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) e. RR )
68	61, 63	resubcld 8328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) e. RR )
69	67, 68	remulcld 7978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
70	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
71	70, 68	remulcld 7978	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
72	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR+ )
73	72	rpred 9683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR )
74	28	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A e. RR )
75	29	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ A )
76	7	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 11014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L <_ ( F ` k ) )
78	61, 63	subge0d 8482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) <-> L <_ ( F ` k ) ) )
79	77, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) )
80		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
81	80	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) )
82		eqle 8039	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` k ) + L ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
83	67, 81, 82	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
84	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
85	35	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
86	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> L e. RR )
87	28	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> A e. RR )
88	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 0 <_ A )
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 e. NN )
90	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> k e. NN )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 < k )
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 11005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` 1 ) )
93	84, 85, 92	ltled 8066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` 1 ) )
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
95		nn1gt1 8942	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
97	83, 94, 96	mpjaodan 798	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 8885	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) <_ ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
99		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
100	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
101	100	rpred 9683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR )
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8490	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
103	99, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) )
104	44	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 9732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e <-> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 8072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
108	66, 107	eqbrtrd 4022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e )
109	61	resqcld 10665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
110	63	resqcld 10665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) e. RR )
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) ) )
112	108, 111	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
113	60, 112	eqbrtrd 4022	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
114	60, 109	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
115	114, 73	readdcld 7977	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
116	41	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ L )
117		le2sq2 10581	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. RR /\ 0 <_ L ) /\ ( ( F ` k ) e. RR /\ L <_ ( F ` k ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1239	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
119	118, 60	breqtrrd 4028	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( G ` k ) )
120	114, 72	ltaddrpd 9717	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 8072	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) )
122	113, 121	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
123	122	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
124	123	ralimdva 2544	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
125	124	reximdva 2579	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
126	46, 125	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
127	126	ralrimiva 2550	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {csn 3591   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   X. cxp 4621   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   e. cmpo 5871   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   < clt 7982   <_ cle 7983   - cmin 8118   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   RR+crp 9640   seqcseq 10431   ^cexp 10505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11017