Theorem resqrexlemglsq 11204

Description: Lemma for resqrex 11208. The sequence formed by squaring each term of F converges to ( L ^ 2 ). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 8-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )
resqrexlemgt0.rr	|- ( ph -> L e. RR )
resqrexlemgt0.lim	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
resqrexlemsqa.g	|- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemglsq	|- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   e, F, j, k, i, y, z   x, F, k   e, L, j, k, i, y, z   ph, e, i, j, k, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, e, i, j, k)   G( x, y, z, e, i, j, k)   L( x)

Proof of Theorem resqrexlemglsq

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L + f ) = ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
2	1	breq2d 4046	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) < ( L + f ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
3		oveq2 5933	. . . . . . 7 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + f ) = ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
4	3	breq2d 4046	. . . . . 6 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( L < ( ( F ` k ) + f ) <-> L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
5	2, 4	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
6	5	rexralbidv 2523	. . . 4 |- ( f = ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) )
7		resqrexlemgt0.lim	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
8		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( F ` i ) = ( F ` k ) )
9	8	breq1d 4044	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + e ) ) )
10	8	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( F ` i ) + e ) = ( ( F ` k ) + e ) )
11	10	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( L < ( ( F ` i ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
12	9, 11	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 |- ( i = k -> ( ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) ) )
13	12	cbvralv 2729	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
14	13	rexbii 2504	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
15	14	ralbii 2503	. . . . . . 7 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) <-> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
16	7, 15	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) )
17		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( L + e ) = ( L + f ) )
18	17	breq2d 4046	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) < ( L + e ) <-> ( F ` k ) < ( L + f ) ) )
19		oveq2 5933	. . . . . . . . . 10 |- ( e = f -> ( ( F ` k ) + e ) = ( ( F ` k ) + f ) )
20	19	breq2d 4046	. . . . . . . . 9 |- ( e = f -> ( L < ( ( F ` k ) + e ) <-> L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( e = f -> ( ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
22	21	rexralbidv 2523	. . . . . . 7 |- ( e = f -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) ) )
23	22	cbvralv 2729	. . . . . 6 |- ( A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` k ) + e ) ) <-> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
24	16, 23	sylib 122	. . . . 5 |- ( ph -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
25	24	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A. f e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + f ) /\ L < ( ( F ` k ) + f ) ) )
26		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> e e. RR+ )
27		resqrexlemex.seq	. . . . . . . . . . 11 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
28		resqrexlemex.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
29		resqrexlemex.agt0	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
30	27, 28, 29	resqrexlemf 11189	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> F : NN --> RR+ )
32		1nn 9018	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
33	32	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 1 e. NN )
34	31, 33	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR+ )
35	34	rpred 9788	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
36		resqrexlemgt0.rr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. RR )
37	36	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> L e. RR )
38	35, 37	readdcld 8073	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
39	34	rpgt0d 9791	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( F ` 1 ) )
40	27, 28, 29, 36, 7	resqrexlemgt0 11202	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ L )
41	40	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 <_ L )
42		addgtge0 8494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F ` 1 ) e. RR /\ L e. RR ) /\ ( 0 < ( F ` 1 ) /\ 0 <_ L ) ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
43	35, 37, 39, 41, 42	syl22anc 1250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> 0 < ( ( F ` 1 ) + L ) )
44	38, 43	elrpd 9785	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
45	26, 44	rpdivcld 9806	. . . 4 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
46	6, 25, 45	rspcdva 2873	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
47		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> j e. NN )
48		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` j ) )
49		eluznn 9691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. NN /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. NN )
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> k e. NN )
51	31	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> F : NN --> RR+ )
52	51, 50	ffvelcdmd 5701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
53		2z 9371	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
55	52, 54	rpexpcld 10806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ )
56		fveq2 5561	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = k -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
57	56	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( x = k -> ( ( F ` x ) ^ 2 ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
58		resqrexlemsqa.g	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. NN |-> ( ( F ` x ) ^ 2 ) )
59	57, 58	fvmptg 5640	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. NN /\ ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR+ ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
60	50, 55, 59	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) = ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
61	52	rpred 9788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
62	61	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
63	37	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. RR )
64	63	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L e. CC )
65		subsq 10755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
66	62, 64, 65	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) = ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
67	61, 63	readdcld 8073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) e. RR )
68	61, 63	resubcld 8424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) e. RR )
69	67, 68	remulcld 8074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
70	38	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR )
71	70, 68	remulcld 8074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) e. RR )
72	26	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR+ )
73	72	rpred 9788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> e e. RR )
74	28	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A e. RR )
75	29	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ A )
76	7	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` i ) < ( L + e ) /\ L < ( ( F ` i ) + e ) ) )
77	27, 74, 75, 63, 76, 50	resqrexlemoverl 11203	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> L <_ ( F ` k ) )
78	61, 63	subge0d 8579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) <-> L <_ ( F ` k ) ) )
79	77, 78	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` k ) - L ) )
80		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( F ` k ) = ( F ` 1 ) )
81	80	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) )
82		eqle 8135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` k ) + L ) e. RR /\ ( ( F ` k ) + L ) = ( ( F ` 1 ) + L ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
83	67, 81, 82	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ k = 1 ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
84	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) e. RR )
85	35	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` 1 ) e. RR )
86	63	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> L e. RR )
87	28	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> A e. RR )
88	29	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 0 <_ A )
89	32	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 e. NN )
90	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> k e. NN )
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> 1 < k )
92	27, 87, 88, 89, 90, 91	resqrexlemdecn 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) < ( F ` 1 ) )
93	84, 85, 92	ltled 8162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( F ` k ) <_ ( F ` 1 ) )
94	84, 85, 86, 93	leadd1dd 8603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) /\ 1 < k ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
95		nn1gt1 9041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
96	50, 95	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( k = 1 \/ 1 < k ) )
97	83, 94, 96	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) + L ) <_ ( ( F ` 1 ) + L ) )
98	67, 70, 68, 79, 97	lemul1ad 8983	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) <_ ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) )
99		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
100	45	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR+ )
101	100	rpred 9788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) e. RR )
102	61, 63, 101	ltsubadd2d 8587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) <-> ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) )
103	99, 102	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) )
104	44	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) + L ) e. RR+ )
105	68, 73, 104	ltmuldiv2d 9837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e <-> ( ( F ` k ) - L ) < ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) )
106	103, 105	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` 1 ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
107	69, 71, 73, 98, 106	lelttrd 8168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) + L ) x. ( ( F ` k ) - L ) ) < e )
108	66, 107	eqbrtrd 4056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e )
109	61	resqcld 10808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) e. RR )
110	63	resqcld 10808	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) e. RR )
111	109, 110, 73	ltsubadd2d 8587	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( ( ( F ` k ) ^ 2 ) - ( L ^ 2 ) ) < e <-> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) ) )
112	108, 111	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( F ` k ) ^ 2 ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
113	60, 112	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) )
114	60, 109	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) e. RR )
115	114, 73	readdcld 8073	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) + e ) e. RR )
116	41	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> 0 <_ L )
117		le2sq2 10724	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L e. RR /\ 0 <_ L ) /\ ( ( F ` k ) e. RR /\ L <_ ( F ` k ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
118	63, 116, 61, 77, 117	syl22anc 1250	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( ( F ` k ) ^ 2 ) )
119	118, 60	breqtrrd 4062	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) <_ ( G ` k ) )
120	114, 72	ltaddrpd 9822	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( G ` k ) < ( ( G ` k ) + e ) )
121	110, 114, 115, 119, 120	lelttrd 8168	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) )
122	113, 121	jca 306	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) /\ ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
123	122	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
124	123	ralimdva 2564	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ j e. NN ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
125	124	reximdva 2599	. . 3 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( F ` k ) < ( L + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) /\ L < ( ( F ` k ) + ( e / ( ( F ` 1 ) + L ) ) ) ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) ) )
126	46, 125	mpd 13	. 2 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )
127	126	ralrimiva 2570	1 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. j e. NN A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( G ` k ) < ( ( L ^ 2 ) + e ) /\ ( L ^ 2 ) < ( ( G ` k ) + e ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {csn 3623   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   CCcc 7894   RRcr 7895   0cc0 7896   1c1 7897   + caddc 7899   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   - cmin 8214   / cdiv 8716   NNcn 9007   2c2 9058   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   RR+crp 9745   seqcseq 10556   ^cexp 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-rp 9746  df-seqfrec 10557  df-exp 10648

This theorem is referenced by:  resqrexlemsqa  11206