Theorem nnesq 10753

Description: A positive integer is even iff its square is even. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnesq	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nnesq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 9347	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
2		zesq 10752	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. ZZ <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ ) )
4		nnrp 9740	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
5	4	rphalfcld 9786	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( N / 2 ) e. RR+ )
6	5	rpgt0d 9776	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < ( N / 2 ) )
7		nnsqcl 10703	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. NN )
8	7	nnrpd 9771	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N ^ 2 ) e. RR+ )
9	8	rphalfcld 9786	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. RR+ )
10	9	rpgt0d 9776	. . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < ( ( N ^ 2 ) / 2 ) )
11	6, 10	2thd 175	. . 3 |- ( N e. NN -> ( 0 < ( N / 2 ) <-> 0 < ( ( N ^ 2 ) / 2 ) ) )
12	3, 11	anbi12d 473	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( N / 2 ) ) <-> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( N ^ 2 ) / 2 ) ) ) )
13		elnnz 9338	. 2 |- ( ( N / 2 ) e. NN <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( N / 2 ) ) )
14		elnnz 9338	. 2 |- ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( ( N ^ 2 ) / 2 ) ) )
15	12, 13, 14	3bitr4g 223	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN <-> ( ( N ^ 2 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   0cc0 7881   < clt 8063   / cdiv 8701   NNcn 8992   2c2 9043   ZZcz 9328   ^cexp 10632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-rp 9731  df-seqfrec 10542  df-exp 10633

This theorem is referenced by:  sqrt2irrlem  12339