Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reccn2ap Unicode version

Theorem reccn2ap 10921
 Description: The reciprocal function is continuous. The class is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2100. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2ap.t inf
Assertion
Ref Expression
reccn2ap # #
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem reccn2ap
StepHypRef Expression
1 reccn2ap.t . . 3 inf
2 1red 7653 . . . . . 6 #
3 simp1 949 . . . . . . . . 9 #
4 simp2 950 . . . . . . . . 9 # #
53, 4absrpclapd 10800 . . . . . . . 8 #
6 simp3 951 . . . . . . . 8 #
75, 6rpmulcld 9347 . . . . . . 7 #
87rpred 9330 . . . . . 6 #
9 mincl 10841 . . . . . 6 inf
102, 8, 9syl2anc 406 . . . . 5 # inf
117rpgt0d 9333 . . . . . . 7 #
12 0lt1 7760 . . . . . . 7
1311, 12jctil 308 . . . . . 6 #
14 0red 7639 . . . . . . 7 #
15 ltmininf 10845 . . . . . . 7 inf
1614, 2, 8, 15syl3anc 1184 . . . . . 6 # inf
1713, 16mpbird 166 . . . . 5 # inf
1810, 17elrpd 9328 . . . 4 # inf
195rphalfcld 9343 . . . 4 #
2018, 19rpmulcld 9347 . . 3 # inf
211, 20syl5eqel 2186 . 2 #
223adantr 272 . . . . . . . . 9 # #
23 simprl 501 . . . . . . . . . . 11 # # #
24 breq1 3878 . . . . . . . . . . . 12 # #
2524elrab 2793 . . . . . . . . . . 11 # #
2623, 25sylib 121 . . . . . . . . . 10 # # #
2726simpld 111 . . . . . . . . 9 # #
2822, 27mulcld 7658 . . . . . . . . 9 # #
294adantr 272 . . . . . . . . . 10 # # #
3026simprd 113 . . . . . . . . . 10 # # #
3122, 27, 29, 30mulap0d 8280 . . . . . . . . 9 # # #
3222, 27, 28, 31divsubdirapd 8451 . . . . . . . 8 # #
3322mulid1d 7655 . . . . . . . . . . 11 # #
3433oveq1d 5721 . . . . . . . . . 10 # #
35 1cnd 7654 . . . . . . . . . . 11 # #
3635, 27, 22, 30, 29divcanap5d 8438 . . . . . . . . . 10 # #
3734, 36eqtr3d 2134 . . . . . . . . 9 # #
3827mulid1d 7655 . . . . . . . . . . 11 # #
3927, 22mulcomd 7659 . . . . . . . . . . 11 # #
4038, 39oveq12d 5724 . . . . . . . . . 10 # #
4135, 22, 27, 29, 30divcanap5d 8438 . . . . . . . . . 10 # #
4240, 41eqtr3d 2134 . . . . . . . . 9 # #
4337, 42oveq12d 5724 . . . . . . . 8 # #
4432, 43eqtrd 2132 . . . . . . 7 # #
4544fveq2d 5357 . . . . . 6 # #
4622, 27subcld 7944 . . . . . . 7 # #
4746, 28, 31absdivapd 10807 . . . . . 6 # #
4845, 47eqtr3d 2134 . . . . 5 # #
4946abscld 10793 . . . . . . 7 # #
5021adantr 272 . . . . . . . 8 # #
5150rpred 9330 . . . . . . 7 # #
5228abscld 10793 . . . . . . . 8 # #
536rpred 9330 . . . . . . . . 9 #
5453adantr 272 . . . . . . . 8 # #
5552, 54remulcld 7668 . . . . . . 7 # #
5622, 27abssubd 10805 . . . . . . . 8 # #
57 simprr 502 . . . . . . . 8 # #
5856, 57eqbrtrd 3895 . . . . . . 7 # #
597adantr 272 . . . . . . . . . 10 # #
6059rpred 9330 . . . . . . . . 9 # #
6119adantr 272 . . . . . . . . . 10 # #
6261rpred 9330 . . . . . . . . 9 # #
6360, 62remulcld 7668 . . . . . . . 8 # #
64 1re 7637 . . . . . . . . . . 11
65 min2inf 10843 . . . . . . . . . . 11 inf
6664, 60, 65sylancr 408 . . . . . . . . . 10 # # inf
6710adantr 272 . . . . . . . . . . 11 # # inf
6867, 60, 61lemul1d 9374 . . . . . . . . . 10 # # inf inf
6966, 68mpbid 146 . . . . . . . . 9 # # inf
701, 69syl5eqbr 3908 . . . . . . . 8 # #
7127abscld 10793 . . . . . . . . . 10 # #
7222abscld 10793 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
7372recnd 7666 . . . . . . . . . . . . 13 # #
74732halvesd 8817 . . . . . . . . . . . 12 # #
7572, 71resubcld 8010 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
7627, 22subcld 7944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
7776abscld 10793 . . . . . . . . . . . . . . 15 # #
7856, 77eqeltrd 2176 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
7922, 27abs2difd 10809 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
80 min1inf 10842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 inf
8164, 60, 80sylancr 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # inf
82 1red 7653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
8367, 82, 61lemul1d 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # inf inf
8481, 83mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # inf
851, 84syl5eqbr 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
8662recnd 7666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 # #
8786mulid2d 7656 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
8885, 87breqtrd 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15 # #
8978, 51, 62, 58, 88ltletrd 8052 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
9075, 78, 62, 79, 89lelttrd 7758 . . . . . . . . . . . . 13 # #
9172, 71, 62ltsubadd2d 8171 . . . . . . . . . . . . 13 # #
9290, 91mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 # #
9374, 92eqbrtrd 3895 . . . . . . . . . . 11 # #
9462, 71, 62ltadd1d 8166 . . . . . . . . . . 11 # #
9593, 94mpbird 166 . . . . . . . . . 10 # #
9662, 71, 59, 95ltmul2dd 9387 . . . . . . . . 9 # #
9722, 27absmuld 10806 . . . . . . . . . . 11 # #
9897oveq1d 5721 . . . . . . . . . 10 # #
9971recnd 7666 . . . . . . . . . . 11 # #
10054recnd 7666 . . . . . . . . . . 11 # #
10173, 99, 100mul32d 7786 . . . . . . . . . 10 # #
10298, 101eqtrd 2132 . . . . . . . . 9 # #
10396, 102breqtrrd 3901 . . . . . . . 8 # #
10451, 63, 55, 70, 103lelttrd 7758 . . . . . . 7 # #
10549, 51, 55, 58, 104lttrd 7759 . . . . . 6 # #
10628, 31absrpclapd 10800 . . . . . . 7 # #
10749, 54, 106ltdivmuld 9382 . . . . . 6 # #
108105, 107mpbird 166 . . . . 5 # #
10948, 108eqbrtrd 3895 . . . 4 # #
110109expr 370 . . 3 # #
111110ralrimiva 2464 . 2 # #
112 breq2 3879 . . 3
113112rspceaimv 2751 . 2 # #
11421, 111, 113syl2anc 406 1 # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 930   wceq 1299   wcel 1448  wral 2375  wrex 2376  crab 2379  cpr 3475   class class class wbr 3875  cfv 5059  (class class class)co 5706  infcinf 6785  cc 7498  cr 7499  cc0 7500  c1 7501   caddc 7503   cmul 7505   clt 7672   cle 7673   cmin 7804   # cap 8209   cdiv 8293  c2 8629  crp 9291  cabs 10609 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611 This theorem is referenced by:  cdivcncfap  12499
 Copyright terms: Public domain W3C validator