Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reccn2ap Unicode version

Theorem reccn2ap 11094
 Description: The reciprocal function is continuous. The class is just for convenience in writing the proof and typically would be passed in as an instance of eqid 2139. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) Using apart, infimum of pair. (Revised by Jim Kingdon, 26-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2ap.t inf
Assertion
Ref Expression
reccn2ap # #
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem reccn2ap
StepHypRef Expression
1 reccn2ap.t . . 3 inf
2 1red 7793 . . . . . 6 #
3 simp1 981 . . . . . . . . 9 #
4 simp2 982 . . . . . . . . 9 # #
53, 4absrpclapd 10972 . . . . . . . 8 #
6 simp3 983 . . . . . . . 8 #
75, 6rpmulcld 9512 . . . . . . 7 #
87rpred 9495 . . . . . 6 #
9 mincl 11014 . . . . . 6 inf
102, 8, 9syl2anc 408 . . . . 5 # inf
117rpgt0d 9498 . . . . . . 7 #
12 0lt1 7901 . . . . . . 7
1311, 12jctil 310 . . . . . 6 #
14 0red 7779 . . . . . . 7 #
15 ltmininf 11018 . . . . . . 7 inf
1614, 2, 8, 15syl3anc 1216 . . . . . 6 # inf
1713, 16mpbird 166 . . . . 5 # inf
1810, 17elrpd 9493 . . . 4 # inf
195rphalfcld 9508 . . . 4 #
2018, 19rpmulcld 9512 . . 3 # inf
211, 20eqeltrid 2226 . 2 #
223adantr 274 . . . . . . . . 9 # #
23 simprl 520 . . . . . . . . . . 11 # # #
24 breq1 3932 . . . . . . . . . . . 12 # #
2524elrab 2840 . . . . . . . . . . 11 # #
2623, 25sylib 121 . . . . . . . . . 10 # # #
2726simpld 111 . . . . . . . . 9 # #
2822, 27mulcld 7798 . . . . . . . . 9 # #
294adantr 274 . . . . . . . . . 10 # # #
3026simprd 113 . . . . . . . . . 10 # # #
3122, 27, 29, 30mulap0d 8431 . . . . . . . . 9 # # #
3222, 27, 28, 31divsubdirapd 8602 . . . . . . . 8 # #
3322mulid1d 7795 . . . . . . . . . . 11 # #
3433oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10 # #
35 1cnd 7794 . . . . . . . . . . 11 # #
3635, 27, 22, 30, 29divcanap5d 8589 . . . . . . . . . 10 # #
3734, 36eqtr3d 2174 . . . . . . . . 9 # #
3827mulid1d 7795 . . . . . . . . . . 11 # #
3927, 22mulcomd 7799 . . . . . . . . . . 11 # #
4038, 39oveq12d 5792 . . . . . . . . . 10 # #
4135, 22, 27, 29, 30divcanap5d 8589 . . . . . . . . . 10 # #
4240, 41eqtr3d 2174 . . . . . . . . 9 # #
4337, 42oveq12d 5792 . . . . . . . 8 # #
4432, 43eqtrd 2172 . . . . . . 7 # #
4544fveq2d 5425 . . . . . 6 # #
4622, 27subcld 8085 . . . . . . 7 # #
4746, 28, 31absdivapd 10979 . . . . . 6 # #
4845, 47eqtr3d 2174 . . . . 5 # #
4946abscld 10965 . . . . . . 7 # #
5021adantr 274 . . . . . . . 8 # #
5150rpred 9495 . . . . . . 7 # #
5228abscld 10965 . . . . . . . 8 # #
536rpred 9495 . . . . . . . . 9 #
5453adantr 274 . . . . . . . 8 # #
5552, 54remulcld 7808 . . . . . . 7 # #
5622, 27abssubd 10977 . . . . . . . 8 # #
57 simprr 521 . . . . . . . 8 # #
5856, 57eqbrtrd 3950 . . . . . . 7 # #
597adantr 274 . . . . . . . . . 10 # #
6059rpred 9495 . . . . . . . . 9 # #
6119adantr 274 . . . . . . . . . 10 # #
6261rpred 9495 . . . . . . . . 9 # #
6360, 62remulcld 7808 . . . . . . . 8 # #
64 1re 7777 . . . . . . . . . . 11
65 min2inf 11016 . . . . . . . . . . 11 inf
6664, 60, 65sylancr 410 . . . . . . . . . 10 # # inf
6710adantr 274 . . . . . . . . . . 11 # # inf
6867, 60, 61lemul1d 9539 . . . . . . . . . 10 # # inf inf
6966, 68mpbid 146 . . . . . . . . 9 # # inf
701, 69eqbrtrid 3963 . . . . . . . 8 # #
7127abscld 10965 . . . . . . . . . 10 # #
7222abscld 10965 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
7372recnd 7806 . . . . . . . . . . . . 13 # #
74732halvesd 8977 . . . . . . . . . . . 12 # #
7572, 71resubcld 8155 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
7627, 22subcld 8085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
7776abscld 10965 . . . . . . . . . . . . . . 15 # #
7856, 77eqeltrd 2216 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
7922, 27abs2difd 10981 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
80 min1inf 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 inf
8164, 60, 80sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # inf
82 1red 7793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 # #
8367, 82, 61lemul1d 9539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 # # inf inf
8481, 83mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 # # inf
851, 84eqbrtrid 3963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
8662recnd 7806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 # #
8786mulid2d 7796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 # #
8885, 87breqtrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 # #
8978, 51, 62, 58, 88ltletrd 8197 . . . . . . . . . . . . . 14 # #
9075, 78, 62, 79, 89lelttrd 7899 . . . . . . . . . . . . 13 # #
9172, 71, 62ltsubadd2d 8317 . . . . . . . . . . . . 13 # #
9290, 91mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 # #
9374, 92eqbrtrd 3950 . . . . . . . . . . 11 # #
9462, 71, 62ltadd1d 8312 . . . . . . . . . . 11 # #
9593, 94mpbird 166 . . . . . . . . . 10 # #
9662, 71, 59, 95ltmul2dd 9552 . . . . . . . . 9 # #
9722, 27absmuld 10978 . . . . . . . . . . 11 # #
9897oveq1d 5789 . . . . . . . . . 10 # #
9971recnd 7806 . . . . . . . . . . 11 # #
10054recnd 7806 . . . . . . . . . . 11 # #
10173, 99, 100mul32d 7927 . . . . . . . . . 10 # #
10298, 101eqtrd 2172 . . . . . . . . 9 # #
10396, 102breqtrrd 3956 . . . . . . . 8 # #
10451, 63, 55, 70, 103lelttrd 7899 . . . . . . 7 # #
10549, 51, 55, 58, 104lttrd 7900 . . . . . 6 # #
10628, 31absrpclapd 10972 . . . . . . 7 # #
10749, 54, 106ltdivmuld 9547 . . . . . 6 # #
108105, 107mpbird 166 . . . . 5 # #
10948, 108eqbrtrd 3950 . . . 4 # #
110109expr 372 . . 3 # #
111110ralrimiva 2505 . 2 # #
112 breq2 3933 . . 3
113112rspceaimv 2797 . 2 # #
11421, 111, 113syl2anc 408 1 # #
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  crab 2420  cpr 3528   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870  cc 7630  cr 7631  cc0 7632  c1 7633   caddc 7635   cmul 7637   clt 7812   cle 7813   cmin 7945   # cap 8355   cdiv 8444  c2 8783  crp 9453  cabs 10781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-rp 9454  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783 This theorem is referenced by:  divcnap  12738  cdivcncfap  12770
 Copyright terms: Public domain W3C validator