Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  taupi Unicode version

Theorem taupi 14102
Description: Relationship between  tau and  pi. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
taupi  |-  tau  =  ( 2  x.  pi )

Proof of Theorem taupi
Dummy variables  f  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tau 11738 . 2  |-  tau  = inf ( ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) ,  RR ,  <  )
2 lttri3 7999 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
32adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
4 2re 8948 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
5 pire 13501 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
64, 5remulcli 7934 . . . . 5  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
76a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
8 2rp 9615 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
9 pirp 13504 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
10 rpmulcl 9635 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
118, 9, 10mp2an 424 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
126recni 7932 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
13 cos2pi 13519 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
14 cosf 11668 . . . . . . . . 9  |-  cos : CC
--> CC
15 ffn 5347 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
17 fniniseg 5616 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  ->  ( ( 2  x.  pi )  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( cos `  (
2  x.  pi ) )  =  1 ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( cos `  (
2  x.  pi ) )  =  1 ) )
1912, 13, 18mpbir2an 937 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  ( `' cos " {
1 } )
2011, 19elini 3311 . . . . 5  |-  ( 2  x.  pi )  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )
2120a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  x.  pi )  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) ) )
22 elinel2 3314 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  x  e.  ( `' cos " { 1 } ) )
23 fniniseg 5616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cos 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( cos `  x
)  =  1 ) ) )
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( cos `  x
)  =  1 ) )
2522, 24sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( cos `  x
)  =  1 ) )
2625simprd 113 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  -> 
( cos `  x
)  =  1 )
2726adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  x )  =  1 )
28 elinel1 3313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  x  e.  RR+ )
2928rpred 9653 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  x  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  x  e.  RR )
3128rpgt0d 9656 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  -> 
0  <  x )
3231adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  0  <  x )
33 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  x  <  ( 2  x.  pi ) )
34 0xr 7966 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
356rexri 7977 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
36 elioo2 9878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3734, 35, 36mp2an 424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  pi ) ) )
3830, 32, 33, 37syl3anbrc 1176 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  pi ) ) )
39 cos02pilt1 13566 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  x )  <  1 )
4038, 39syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  x )  <  1
)
4127, 40eqbrtrrd 4013 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  1  <  1 )
42 1red 7935 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  1  e.  RR )
4342ltnrd 8031 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  -.  1  <  1 )
4441, 43pm2.65da 656 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  -.  x  <  ( 2  x.  pi ) )
4544adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) )  ->  -.  x  <  ( 2  x.  pi ) )
463, 7, 21, 45infminti 7004 . . 3  |-  ( T. 
-> inf ( ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( 2  x.  pi ) )
4746mptru 1357 . 2  |- inf ( (
RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( 2  x.  pi )
481, 47eqtri 2191 1  |-  tau  =  ( 2  x.  pi )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 973    = wceq 1348   T. wtru 1349    e. wcel 2141    i^i cin 3120   {csn 3583   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   "cima 4614    Fn wfn 5193   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853  infcinf 6960   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775    x. cmul 7779   RR*cxr 7953    < clt 7954   2c2 8929   RR+crp 9610   (,)cioo 9845   cosccos 11608   picpi 11610   tauctau 11737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-sin 11613  df-cos 11614  df-pi 11616  df-tau 11738  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator