Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  taupi Unicode version

Theorem taupi 13683
Description: Relationship between  tau and  pi. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)
Assertion
Ref Expression
taupi  |-  tau  =  ( 2  x.  pi )

Proof of Theorem taupi
Dummy variables  f  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-tau 11676 . 2  |-  tau  = inf ( ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) ,  RR ,  <  )
2 lttri3 7958 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
32adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
4 2re 8904 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
5 pire 13149 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
64, 5remulcli 7893 . . . . 5  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR
76a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  x.  pi )  e.  RR )
8 2rp 9566 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
9 pirp 13152 . . . . . . 7  |-  pi  e.  RR+
10 rpmulcl 9586 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  pi  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  pi )  e.  RR+ )
118, 9, 10mp2an 423 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  RR+
126recni 7891 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
13 cos2pi 13167 . . . . . . 7  |-  ( cos `  ( 2  x.  pi ) )  =  1
14 cosf 11606 . . . . . . . . 9  |-  cos : CC
--> CC
15 ffn 5320 . . . . . . . . 9  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  cos  Fn  CC
17 fniniseg 5588 . . . . . . . 8  |-  ( cos 
Fn  CC  ->  ( ( 2  x.  pi )  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( cos `  (
2  x.  pi ) )  =  1 ) ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  x.  pi )  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( ( 2  x.  pi )  e.  CC  /\  ( cos `  (
2  x.  pi ) )  =  1 ) )
1912, 13, 18mpbir2an 927 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  pi )  e.  ( `' cos " {
1 } )
2011, 19elini 3291 . . . . 5  |-  ( 2  x.  pi )  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )
2120a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( 2  x.  pi )  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) ) )
22 elinel2 3294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  x  e.  ( `' cos " { 1 } ) )
23 fniniseg 5588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( cos 
Fn  CC  ->  ( x  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( cos `  x
)  =  1 ) ) )
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( `' cos " { 1 } )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( cos `  x
)  =  1 ) )
2522, 24sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( cos `  x
)  =  1 ) )
2625simprd 113 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  -> 
( cos `  x
)  =  1 )
2726adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  x )  =  1 )
28 elinel1 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  x  e.  RR+ )
2928rpred 9604 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  x  e.  RR )
3029adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  x  e.  RR )
3128rpgt0d 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  -> 
0  <  x )
3231adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  0  <  x )
33 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  x  <  ( 2  x.  pi ) )
34 0xr 7925 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
356rexri 7936 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  pi )  e. 
RR*
36 elioo2 9826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  (
2  x.  pi )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  pi ) ) ) )
3734, 35, 36mp2an 423 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x  /\  x  <  ( 2  x.  pi ) ) )
3830, 32, 33, 37syl3anbrc 1166 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  x  e.  ( 0 (,) (
2  x.  pi ) ) )
39 cos02pilt1 13214 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 (,) ( 2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  x )  <  1 )
4038, 39syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  ( cos `  x )  <  1
)
4127, 40eqbrtrrd 3989 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  1  <  1 )
42 1red 7894 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  1  e.  RR )
4342ltnrd 7989 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " {
1 } ) )  /\  x  <  (
2  x.  pi ) )  ->  -.  1  <  1 )
4441, 43pm2.65da 651 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) )  ->  -.  x  <  ( 2  x.  pi ) )
4544adantl 275 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e.  ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) )  ->  -.  x  <  ( 2  x.  pi ) )
463, 7, 21, 45infminti 6972 . . 3  |-  ( T. 
-> inf ( ( RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( 2  x.  pi ) )
4746mptru 1344 . 2  |- inf ( (
RR+  i^i  ( `' cos " { 1 } ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( 2  x.  pi )
481, 47eqtri 2178 1  |-  tau  =  ( 2  x.  pi )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335   T. wtru 1336    e. wcel 2128    i^i cin 3101   {csn 3560   class class class wbr 3966   `'ccnv 4586   "cima 4590    Fn wfn 5166   -->wf 5167   ` cfv 5171  (class class class)co 5825  infcinf 6928   CCcc 7731   RRcr 7732   0cc0 7733   1c1 7734    x. cmul 7738   RR*cxr 7912    < clt 7913   2c2 8885   RR+crp 9561   (,)cioo 9793   cosccos 11546   picpi 11548   tauctau 11675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548  ax-cnex 7824  ax-resscn 7825  ax-1cn 7826  ax-1re 7827  ax-icn 7828  ax-addcl 7829  ax-addrcl 7830  ax-mulcl 7831  ax-mulrcl 7832  ax-addcom 7833  ax-mulcom 7834  ax-addass 7835  ax-mulass 7836  ax-distr 7837  ax-i2m1 7838  ax-0lt1 7839  ax-1rid 7840  ax-0id 7841  ax-rnegex 7842  ax-precex 7843  ax-cnre 7844  ax-pre-ltirr 7845  ax-pre-ltwlin 7846  ax-pre-lttrn 7847  ax-pre-apti 7848  ax-pre-ltadd 7849  ax-pre-mulgt0 7850  ax-pre-mulext 7851  ax-arch 7852  ax-caucvg 7853  ax-pre-suploc 7854  ax-addf 7855  ax-mulf 7856
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-disj 3944  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-ilim 4330  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-isom 5180  df-riota 5781  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-of 6033  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-frec 6339  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-er 6481  df-map 6596  df-pm 6597  df-en 6687  df-dom 6688  df-fin 6689  df-sup 6929  df-inf 6930  df-pnf 7915  df-mnf 7916  df-xr 7917  df-ltxr 7918  df-le 7919  df-sub 8049  df-neg 8050  df-reap 8451  df-ap 8458  df-div 8547  df-inn 8835  df-2 8893  df-3 8894  df-4 8895  df-5 8896  df-6 8897  df-7 8898  df-8 8899  df-9 8900  df-n0 9092  df-z 9169  df-uz 9441  df-q 9530  df-rp 9562  df-xneg 9680  df-xadd 9681  df-ioo 9797  df-ioc 9798  df-ico 9799  df-icc 9800  df-fz 9914  df-fzo 10046  df-seqfrec 10349  df-exp 10423  df-fac 10604  df-bc 10626  df-ihash 10654  df-shft 10719  df-cj 10746  df-re 10747  df-im 10748  df-rsqrt 10902  df-abs 10903  df-clim 11180  df-sumdc 11255  df-ef 11549  df-sin 11551  df-cos 11552  df-pi 11554  df-tau 11676  df-rest 12395  df-topgen 12414  df-psmet 12429  df-xmet 12430  df-met 12431  df-bl 12432  df-mopn 12433  df-top 12438  df-topon 12451  df-bases 12483  df-ntr 12538  df-cn 12630  df-cnp 12631  df-tx 12695  df-cncf 13000  df-limced 13067  df-dvap 13068
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator