Theorem taupi 13430

Description: Relationship between tau and pi. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	|- tau = ( 2 x. pi )

Proof of Theorem taupi

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tau 11518	. 2 |- tau = inf ( ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) , RR , < )
2		lttri3 7868	. . . . 5 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3	2	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4		2re 8814	. . . . . 6 |- 2 e. RR
5		pire 12915	. . . . . 6 |- pi e. RR
6	4, 5	remulcli 7804	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 x. pi ) e. RR )
8		2rp 9475	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
9		pirp 12918	. . . . . . 7 |- pi e. RR+
10		rpmulcl 9495	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
11	8, 9, 10	mp2an 423	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
12	6	recni 7802	. . . . . . 7 |- ( 2 x. pi ) e. CC
13		cos2pi 12933	. . . . . . 7 |- ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1
14		cosf 11448	. . . . . . . . 9 |- cos : CC --> CC
15		ffn 5280	. . . . . . . . 9 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- cos Fn CC
17		fniniseg 5548	. . . . . . . 8 |- ( cos Fn CC -> ( ( 2 x. pi ) e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1 ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. pi ) e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1 ) )
19	12, 13, 18	mpbir2an 927	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. ( `' cos " { 1 } )
20	11, 19	elini 3265	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) )
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 x. pi ) e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) )
22		elinel2 3268	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> x e. ( `' cos " { 1 } ) )
23		fniniseg 5548	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos Fn CC -> ( x e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( x e. CC /\ ( cos ` x ) = 1 ) ) )
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( x e. CC /\ ( cos ` x ) = 1 ) )
25	22, 24	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> ( x e. CC /\ ( cos ` x ) = 1 ) )
26	25	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> ( cos ` x ) = 1 )
27	26	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` x ) = 1 )
28		elinel1 3267	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> x e. RR+ )
29	28	rpred 9513	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> x e. RR )
30	29	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> x e. RR )
31	28	rpgt0d 9516	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> 0 < x )
32	31	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> 0 < x )
33		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> x < ( 2 x. pi ) )
34		0xr 7836	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
35	6	rexri 7847	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
36		elioo2 9734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < ( 2 x. pi ) ) ) )
37	34, 35, 36	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < ( 2 x. pi ) ) )
38	30, 32, 33, 37	syl3anbrc 1166	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
39		cos02pilt1 12980	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` x ) < 1 )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` x ) < 1 )
41	27, 40	eqbrtrrd 3960	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> 1 < 1 )
42		1red 7805	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> 1 e. RR )
43	42	ltnrd 7899	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> -. 1 < 1 )
44	41, 43	pm2.65da 651	. . . . 5 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> -. x < ( 2 x. pi ) )
45	44	adantl 275	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) ) -> -. x < ( 2 x. pi ) )
46	3, 7, 21, 45	infminti 6922	. . 3 |- ( T. -> inf ( ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) , RR , < ) = ( 2 x. pi ) )
47	46	mptru 1341	. 2 |- inf ( ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) , RR , < ) = ( 2 x. pi )
48	1, 47	eqtri 2161	1 |- tau = ( 2 x. pi )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   T. wtru 1333   e. wcel 1481   i^i cin 3075   {csn 3532   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   "cima 4550   Fn wfn 5126   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  infcinf 6878   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   RR*cxr 7823   < clt 7824   2c2 8795   RR+crp 9470   (,)cioo 9701   cosccos 11388   picpi 11390   tauctau 11517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764  ax-pre-suploc 7765  ax-addf 7766  ax-mulf 7767

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-disj 3915  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-of 5990  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-map 6552  df-pm 6553  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-sup 6879  df-inf 6880  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-xneg 9589  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-icc 9708  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-bc 10526  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155  df-ef 11391  df-sin 11393  df-cos 11394  df-pi 11396  df-tau 11518  df-rest 12161  df-topgen 12180  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198  df-mopn 12199  df-top 12204  df-topon 12217  df-bases 12249  df-ntr 12304  df-cn 12396  df-cnp 12397  df-tx 12461  df-cncf 12766  df-limced 12833  df-dvap 12834

This theorem is referenced by: (None)