Theorem taupi 15633

Description: Relationship between tau and pi. This can be seen as connecting the ratio of a circle's circumference to its radius and the ratio of a circle's circumference to its diameter. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Feb-2019.) (Revised by AV, 1-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
taupi	|- tau = ( 2 x. pi )

Proof of Theorem taupi

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tau 11922	. 2 |- tau = inf ( ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) , RR , < )
2		lttri3 8101	. . . . 5 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3	2	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4		2re 9054	. . . . . 6 |- 2 e. RR
5		pire 14962	. . . . . 6 |- pi e. RR
6	4, 5	remulcli 8035	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. RR
7	6	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 x. pi ) e. RR )
8		2rp 9727	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
9		pirp 14965	. . . . . . 7 |- pi e. RR+
10		rpmulcl 9747	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
11	8, 9, 10	mp2an 426	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
12	6	recni 8033	. . . . . . 7 |- ( 2 x. pi ) e. CC
13		cos2pi 14980	. . . . . . 7 |- ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1
14		cosf 11851	. . . . . . . . 9 |- cos : CC --> CC
15		ffn 5404	. . . . . . . . 9 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- cos Fn CC
17		fniniseg 5679	. . . . . . . 8 |- ( cos Fn CC -> ( ( 2 x. pi ) e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1 ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. pi ) e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( cos ` ( 2 x. pi ) ) = 1 ) )
19	12, 13, 18	mpbir2an 944	. . . . . 6 |- ( 2 x. pi ) e. ( `' cos " { 1 } )
20	11, 19	elini 3344	. . . . 5 |- ( 2 x. pi ) e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) )
21	20	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( 2 x. pi ) e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) )
22		elinel2 3347	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> x e. ( `' cos " { 1 } ) )
23		fniniseg 5679	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos Fn CC -> ( x e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( x e. CC /\ ( cos ` x ) = 1 ) ) )
24	16, 23	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( `' cos " { 1 } ) <-> ( x e. CC /\ ( cos ` x ) = 1 ) )
25	22, 24	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> ( x e. CC /\ ( cos ` x ) = 1 ) )
26	25	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> ( cos ` x ) = 1 )
27	26	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` x ) = 1 )
28		elinel1 3346	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> x e. RR+ )
29	28	rpred 9765	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> x e. RR )
30	29	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> x e. RR )
31	28	rpgt0d 9768	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> 0 < x )
32	31	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> 0 < x )
33		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> x < ( 2 x. pi ) )
34		0xr 8068	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR*
35	6	rexri 8079	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) e. RR*
36		elioo2 9990	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( 2 x. pi ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < ( 2 x. pi ) ) ) )
37	34, 35, 36	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) <-> ( x e. RR /\ 0 < x /\ x < ( 2 x. pi ) ) )
38	30, 32, 33, 37	syl3anbrc 1183	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) )
39		cos02pilt1 15027	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` x ) < 1 )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> ( cos ` x ) < 1 )
41	27, 40	eqbrtrrd 4054	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> 1 < 1 )
42		1red 8036	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> 1 e. RR )
43	42	ltnrd 8133	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) /\ x < ( 2 x. pi ) ) -> -. 1 < 1 )
44	41, 43	pm2.65da 662	. . . . 5 |- ( x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) -> -. x < ( 2 x. pi ) )
45	44	adantl 277	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) ) -> -. x < ( 2 x. pi ) )
46	3, 7, 21, 45	infminti 7088	. . 3 |- ( T. -> inf ( ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) , RR , < ) = ( 2 x. pi ) )
47	46	mptru 1373	. 2 |- inf ( ( RR+ i^i ( `' cos " { 1 } ) ) , RR , < ) = ( 2 x. pi )
48	1, 47	eqtri 2214	1 |- tau = ( 2 x. pi )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   T. wtru 1365   e. wcel 2164   i^i cin 3153   {csn 3619   class class class wbr 4030   `'ccnv 4659   "cima 4663   Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5919  infcinf 7044   CCcc 7872   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   x. cmul 7879   RR*cxr 8055   < clt 8056   2c2 9035   RR+crp 9722   (,)cioo 9957   cosccos 11791   picpi 11793   tauctau 11921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ioc 9962  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-sin 11796  df-cos 11797  df-pi 11799  df-tau 11922  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836

This theorem is referenced by: (None)